thumb|George Gabriel Stokes (1819–1903)
Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.
Twierdzenie Stokesa ma źródła w pracach Ampère'a z 1826 roku. W jego standardowej postaci została opracowana przez Williama Thomsona jeszcze przed 1850 rokiem i przekazana G. G. Stokesowi, który opublikował je jako problem w egzaminach w 1854 roku. Nie jest wiadome, czy ktoś rozwiązał problem, ale jednym z uczestników był Maxwell, to właśnie on uzyskał informacje, że Stokes otrzymał twierdzenie od Thomsona. Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez w 1861.
Twierdzenie Stokesa w przestrzeni Jeżeli jest płatem powierzchni w a jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego (gdzie ) mamy:
Dowód Niech gdzie oraz Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest ), otrzymujemy równość:
(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych i ).
A więc z twierdzenia Greena mamy:
Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:
Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych i i wyniki zsumujemy, otrzymamy:
gdzie
Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego przez płat Co daje tezę.
Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla -wymiarowych powierzchni gładkich.
Załóżmy, że jest orientowalną powierzchnią gładką, jest zbiorem zwartym oraz oraz że brzeg jest -wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię jest formą klasy a jest orientacją powierzchni to
gdzie orientacja powierzchni dana jest wzorem
dla a
jest taką funkcją, że jest wektorem zewnętrznym do zbioru w punkcie jest wektorem normalnym do powierzchni w punkcie dla każdego
Wnioski Wzór Gaussa-Ostrogradskiego Załóżmy, że jest zbiorem otwartym, zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg jest -wymiarową powierzchnią gładką oraz
jest funkcją o własnościach jest wektorem zewnętrznym do w punkcie
jest wektorem normalnym do w punkcie leżącym na brzegu
Jeżeli jest funkcją klasy to
gdzie oznacza operator dywergencji.
Wzór Greena-Riemanna
Załóżmy, że jest zbiorem otwartym, jest zbiorem zwartym takim, że oraz brzeg jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto
jest funkcją o własnościach jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie
gdzie jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy ). Jeżeli jest funkcją klasy to
Przypisy
Linki zewnętrzne Jerzy Juliusz Kijowski, Twierdzenie Stokesa, kanał Centrum Fizyki Teoretycznej PAN na YouTube, 18 maja 2021 [dostęp 2021-05-23]. Stokes theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Kategoria:Geometria różniczkowa S