mały|Masa to przykład funkcji o wartościach rzeczywistych. mały|Prawdopodobieństwo formalizuje się jako rodzaj funkcji o wartościach rzeczywistych.

Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych; innymi słowy jest to funkcja o wartościach rzeczywistych: Czasem znaczenie tego terminu jest: węższe; wymaga się niekiedy, aby także dziedzina funkcji była podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych ; szersze; za przeciwdziedzinę uznaje się rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, tj. dopuszcza się wartości nieskończone .

Teorię funkcji rzeczywistych zalicza się do analizy matematycznej, choć funkcje rzeczywiste rozumiane szeroko pojawiają się też w innych dyscyplinach: ciągi liczb rzeczywistych bada między innymi rachunek różnicowy, wykraczający poza analizę do matematyki dyskretnej; rzeczywiste wielomiany to klasyczny temat badań algebry, a formy wieloliniowe i kwadratowe są badane przez algebrę liniową; metryka czy wymiar stanowią pojęcia topologiczne, a ta pierwsza jest też używana w matematyce dyskretnej, np. teorii grafów; pojęcia jak długość krzywej, pole powierzchni czy objętość dotyczą nie tylko analizy, ale i geometrii, tak jak miara kąta; formalnie funkcją rzeczywistą jest też moc zbioru skończonego – centralne pojęcie kombinatoryki; przykładem funkcji rzeczywistej jest prawdopodobieństwo.

Fundamentem fizyki i całej nauki empirycznej są wielkości mierzalne określone funkcjami rzeczywistymi – nie tylko te geometryczne (odległość, długość, pole powierzchni, objętość, miara kąta), ale też masa, temperatura czy ładunek elektryczny.

Podtypy i problemy mały|Wykres przykładowej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych

Funkcja rzeczywista może być określona w sposób jawny lub uwikłany. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, funkcje o wartościach rzeczywistych można podzielić na ograniczone i nieograniczone oraz wyróżniać ekstrema globalne. Zagadnieniom tego typu są poświęcone całe dyscypliny matematyczne jak rachunek wariacyjny.

Jeśli dziedzina jest wyposażona w dodatkowe struktury, to dla takich funkcji można definiować dalsze pojęcia i wyróżniać szczególne klasy: częściowy porządek prowadzi do zagadnienia monotoniczności oraz ekstremów lokalnych; topologia również pozwala definiować ekstrema lokalne, a także ciągłość i własność Darboux; funkcje rzeczywiste na rozmaitościach stanowią przykład pól skalarnych, przez co są badane przez teorię pola, w tym teorię potencjału; funkcje na magmach mogą być okresowe, te na grupach także parzyste lub nieparzyste, a te na przestrzeniach liniowych mogą być formami (funkcjonałami) i mogą być wypukłe lub wklęsłe; struktura liniowo-topologiczna umożliwia wprowadzenie pochodnej i różniczki. Dostarcza to narzędzi poszukiwania ekstremów, ponieważ należą one do punktów krytycznych; funkcje działające z przestrzeni mierzalnej można czasem całkować.

Funkcje rzeczywiste same bywają używane do definiowania pewnych struktur, np. przestrzeni metrycznych i pseudometrycznych.

Rozwinięto teorie równań funkcyjnych – zwłaszcza różniczkowych i różnicowych – w których niewiadomymi są funkcje rzeczywiste. Równania takie można rozwiązywać w sposób przybliżony, rozważając ciągi funkcyjne; dzieje się tak, ponieważ funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą przestrzeń topologiczną, przez co wśród ciągów takich funkcji można wyróżnić te zbieżne. Wszystkie funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą także przestrzeń liniową, a konkretniej liniowo-topologiczną. Przez to takie przestrzenie funkcyjne należą do obszaru badań analizy funkcjonalnej.

Przypadek zmiennej rzeczywistej mały|Rozkład Gaussa – przykład często używanej, przestępnej funkcji elementarnej mały|Funkcja dzeta Riemanna w dziedzinie rzeczywistej

Do funkcji tego rodzaju stosują się wszystkie powyższe koncepcje i niektóre dodatkowe zagadnienia, np. szczególne rodzaje nieciągłości i punkty przegięcia. Oprócz tego: jeśli dziedzina i przeciwdziedzina przecinają się to mogą występować punkty stałe i zbiory niezmiennicze; jeśli dziedzina i przeciwdziedzina pokrywają się to mogą występować punkty okresowe, a funkcja może być idempotentna lub inwolutywna.

Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej dzieli się na elementarne i specjalne. Wśród tych pierwszych wyróżnia się funkcje algebraiczne, a pozostałe nazywa przestępnymi. Do funkcji algebraicznych zalicza się rzeczywiste funkcje wymierne, w tym rzeczywiste wielomiany. Wśród elementarnych funkcji przestępnych szczególnie często używane są funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz wartość bezwzględna i różne funkcje schodkowe.

Funkcje tego typu są niewiadomymi w równaniach różniczkowych zwyczajnych.

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne Anna Barbaszewska-Wiśniowska i Vsevolod Vladimirov, Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej, Open AGH – Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2025-10-12]. Real functions – klasyfikacja badań według MSC 2020, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, mathscinet.ams.org [dostęp 2025-10-12].

R