Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha przyporządkowanie
dane wzorem
gdzie jest elementem zbioru tj. należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry o wartościach w ciele liczb zespolonychZbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro . W zbiorze wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry ). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra ma jedynkęPrzestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z Gamelin, op. cit., s. 16.. Otoczenia bazowe danego punktu z przestrzeni Gelfanda są postaci
gdzie jest skończonym podzbiorem Zbiór
nazywany jest radykałem Gelfanda algebry Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci gdzie i są elementami algebry
Transformata Gelfanda
jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Algebry Banacha