Przestrzeń rozproszona – przestrzeń topologiczna o tej własności, że każdy jej domknięty podzbiór zawiera gęsty podzbiór złożony z punktów izolowanych. Za motywacje do rozważań przestrzeni o tych własnościach można uznać badania Georga Cantora nad zbieżnością szeregów FourieraG. Cantor. Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Math. Ann., 5 (1872) s. 123–132.. Dla przestrzeni rozproszonych definiuje się tzw. szerokość Cantora-Bendixsona przestrzeni rozproszonej poprzez indukcję pozaskończoną. Niech:

gdzie oznacza operację brania pochodnej zbioru

gdy jest graniczną liczbą porządkową. W przypadku przestrzeni rozproszonych ciąg taki (numerowany liczbami porządkowymi) stabilizuje się. Najmniejszą liczbę porządkową taką, że

nazywa się szerokością Cantora-Bendixsona przestrzeni rozproszonej Jeśli jest ponadto przestrzenią zwartą, to liczba jest następnikowa, to znaczy jest ona postaci dla pewnej liczby porządkowej Zbiór jest skończony. Klasyczne twierdzenie Mazurkiewicza-Sierpińskiego mówi, że jeżeli jest przeliczalną, zwartą przestrzenią rozproszoną, to przestrzeń jest jednacznonie wyznaczona przez liczbę gdzie oraz (skończoną) liczbę elementów zbioru Dokładniej, jeśli to jest homeomorficzna z przestrzenią

z topologią porządkowąS. Mazurkiewicz, W. Sierpiński. Contribution a la topologie des ensembles dénombrables, Fundamenta Mathematicae, 1 (1920) s. 17–27..

Pod założeniem diamentu Jensena, Adam Ostaszewski podał przykładA.J. Ostaszewski. On countably compact perfectly normal spaces, „Journal of the London Mathematical Society”, 14 (1976), no. 2, s. 505–516. doskonale normalnej, przeliczalnie zwartej, rozproszonej i zerowymiarowej topologii na zbiorze takiej że dla ustalonej niezerowej liczby naturalnej wymiar pokryciowy przestrzeni = wymiar induktywny przestrzeni = Ponadto, wymiar pokryciowy uzwarcenia jednopunktowego tej przestrzeni jest równy zero.

Przypisy

Linki zewnętrzne Scattered space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-16].

Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych