mały|400px|Czworokąt ABCD
Twierdzenie Bretschneidera – twierdzenie geometryczne pozwalające obliczyć pole powierzchni dowolnego czworokąta znając jedynie długości jego boków oraz miary jego kątów. Zostało ono udowodnione niezależnie w 1842 roku przez Carla Bretschneidera oraz przez F. Strehlkego.
Wypowiedź twierdzenia Niech dany będzie dowolny czworokąt ABCD o bokach długości i oraz kątach (kolejno) i Oznaczmy połowę jego obwodu przez
Wtedy pole tego czworokąta wyraża się przez
Dowód twierdzenia mały|400px|Przypadek, gdy czworokąt ABCD nie jest wypukły. Na początek zauważmy, że w twierdzeniu nie jest istotne, którą parę przeciwległych kątów – i czy i – wybierzemy. Zachodzi bowiem
Oznaczmy pole czworokąta symbolem Wtedy
Zauważmy, że wzór ten działa zarówno, gdy czworokąt ABCD jest wypukły, jak i gdy jest wklęsły: przypuśćmy, że kąt ma miarę większą od kąta półpełnego. Wtedy wzór przyjmuje postać
Ale pole trójkąta BDC to
co ostatecznie daje ponownie wzór .
Przemnażając wzór przez 2 i podnosząc obustronnie do kwadratu, otrzymujemy
Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkątów ABD i BCD otrzymujemy
Łącząc powyższe równości otrzymujemy
Podnosząc równość do kwadratu i dzieląc przez 4, otrzymujemy:
Dodając stronami równania i oraz korzystając z tożsamości trygonometrycznych (jedynki trygonometrycznej, cosinusa sumy kątów oraz cosinusa podwojonego kąta), otrzymujemy kolejno:
Przemnażając obie strony przez 4 i przenosząc jeden ze składników sumy na drugą stronę, równość przyjmuje postać
Zapisując wyrażenie
jako
oraz korzystając z wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy
Wprowadzając połowę obwodu
otrzymujemy równość
z której, po podzieleniu przez 16 i obustronnym spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór Bretschneidera.
Podobne twierdzenia Twierdzenie Bretschneidera to uogólnienie wzoru Brahmagupty, będącego z kolei uogólnieniem wzoru Herona. Jeśli czworokąt dany jest wpisany w koło, to przeciwległe kąty sumują się do kąta półpełnego i wtedy
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Bretschneidera