mały|Wykres wartości funkcji Möbiusa dla Funkcja Möbiusa, funkcja – funkcja arytmetyczna określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku i zdefiniowana w następujący sposób:
jeśli liczba jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej, jeśli liczba jest iloczynem parami różnych liczb pierwszych (jest bezkwadratowa). Funkcja wykorzystywana jest często w elementarniej i analitycznej teorii liczb. Występuje w twierdzeniu Möbiusa o odwracaniu.
Wartości Wartości funkcji Möbiusa dla małych (ciąg A008683 w OEIS):
Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:
(A030059 w OEIS) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,... (A013929 w OEIS) 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,... (A030229 w OEIS) 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...
Własności Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną, co oznacza, że
jeśli i są liczbami względnie pierwszymi. Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną.
Dla dowolnej liczby całkowitej zachodzi
gdzie oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.
Funkcja zeta Riemanna Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej o części rzeczywistej zachodzi równość
Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,
zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.
Ponadto
Szeregi Funkcja występuje w następujących szeregach zbieżnych:
co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych, gdzie to logarytm naturalny, gdzie jest stałą Eulera-Masheroniego.
Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg
który jest zbieżny dla Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej zachodzi
również dla
Związek z funkcjami trygonometrycznymi Spójrzmy na ciąg ułamków
Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:
Utwórzmy sumę:
Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie
Funkcja Mertensa
W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa
Zależność jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a – z hipotezą Riemanna.
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Funkcje arytmetyczne Kategoria:Teoria liczb Kategoria:Teoria podzielności