Twierdzenie Castigliano, nazwane od twórcy – Carla Alberta Castigliano, jest metodą określania przemieszczeń układu liniowo-sprężystego w oparciu o pochodną cząstkową energii sprężystości. Są dwie postaci twierdzenia Castigliano: pierwsza postać, pozwalająca określić siły układu brzmi następująco: Jeżeli energia sprężystości materiału liniowo-sprężystego może być wyrażona jako funkcja przemieszczeń qi, wtedy pochodna cząstkowa tej energii względem przemieszczeń jest równa siłom Qi zaczepionym w punktach przemieszczeń.
W formie równania,
gdzie U jest energią odkształceń;
druga postać, pozwalająca określić przemieszczenia układu: Jeżeli energia naprężeń materiału liniowo-sprężystego jest wyrażana jako funkcja sił Qi, wtedy pochodna cząstkowa tej energii względem tych sił jest równa przemieszczeniom qi na kierunkach sił Qi w punktach ich zaczepienia.
W postaci wzoru:
Przykłady Weźmy wspornik obciążony siłą P na końcu. Przemieszczenie można obliczyć w oparciu o drugą postać twierdzenia Castigliano:
gdzie E jest modułem Younga, a I momentem bezwładności przekroju wspornika, wtedy:
W wyniku otrzymujemy wzór na ugięcie krańca wspornika obciążonego siłą skupioną na końcu.
Bibliografia Stephen P. Timoshenko and J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw Hill 1970 3rd edition. pp 254 – 258. Alexander Blake, Practival Stress Analysis ib Engineering Design Marcel Dekker Inc, 1990. . Joseph Shigley, Mechanical Engineering Design, McGraw Hill 1983. pp 135 – 139. Stephen P. Timoshenko, History of Strength of Materials, Dover 1983. pp 288 – 293 Castigliano, Carlo Aberto, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879
Kategoria:Wytrzymałość materiałów Castigliano