mały|300px|Ilustracja twierdzenia – wykres przykładowej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych. Na przedziale spełnia ona założenia twierdzenia
Twierdzenie Rolle’a – twierdzenie analizy matematycznej, konkretniej analizy rzeczywistej i rachunku różniczkowego. Twierdzenie to mówi o niektórych funkcjach rzeczywistych na przedziałach domkniętych i ograniczonych: Opisuje te funkcje, które mają jednocześnie trzy własności – funkcja jest ciągła; jest różniczkowalna na przedziale otwartym ma równe wartości na końcach tego przedziału:
Treść twierdzenia
Twierdzenie Rolle’a mówi, że dla każdej funkcji, która posiada wszystkie 3 wspomniane powyżej własności, istnieje tak zwany punkt stacjonarny , czyli miejsce zerowe pochodnej: .
Uwaga. Twierdzenie to ma też sens geometryczny – opisuje własności wykresu funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych. W punkcie stacjonarnym styczna do takiego wykresu jest równoległa do osi argumentów, zwykle oznaczanej Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański i Halszka Tutaj-Gasińska, Wykład 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej [w:] Analiza matematyczna 1, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl, 25 lipca 2024 [dostęp 2025-12-02]..
Dowód mały|300px|Wizualizacja twierdzenia
Jeżeli to dla każdego Gdy nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt dla którego zachodzi
lub
Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu wartość funkcji jest większa od rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (wówczas trzeba rozważać wartość najmniejszą zamiast największej).
Określona na przedziale zwartym funkcja ciągła na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt że
dla
Z założenia, że istnieje wartość większa od wynika, że tzn. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji w jest zerowanie się pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.
Historia Twierdzenie to – w innej postaci niż ta standardowa – znał w 1150 roku indyjski matematyk Bhaskaraćarja. W 1691 roku francuski matematyk Michel Rolle opublikował je w szczególnym przypadku dotyczącym wielomianów Ádám Besenyei, A brief history of the mean value theorem , Uniwersytet Loránda Eötvösa (ELTE), 17 września 2012 [dostęp 2025-12-02].. Zostało nazwane na jego cześć najpóźniej w XIX wieku – nazwiskiem Rolle’a opisał je w 1834 roku Moritz Wilhelm Drobisch Jeff Miller, Rolle’s theorem [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-6]..
Zastosowania
Twierdzenie Rolle’a jest używane m.in. w dowodach innych twierdzeń analizy i co najmniej jednego twierdzenia algebry. Przykłady to: twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej i ogólniejsze twierdzenie Cauchy’ego o wartości średniej. Są to uogólnienia twierdzenia Rolle’a; reguła znaków Kartezjusza opisująca niektóre wielomiany.
Uogólnienia Niech będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a wtedy Punkt można zapisać jako gdzie
Przy takich oznaczeniach twierdzenie Rolle’a ma postać: Jeśli
to istnieje punkt dla którego
Rezygnacja z warunku czyli prowadzi do ogólniejszego twierdzenia Lagrange’a: Istnieje taki punkt który spełnia tożsamość
Z kolei dalekim uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a jest twierdzenie Taylora mówiące, że: Istnieje taki punkt dla którego zachodzi:
gdzie o funkcji zakłada się, by była razy różniczkowalna.
Twierdzenie Rolle’a uzyskuje się z niego przyjmując
Zobacz też twierdzenie Darboux
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
[dostęp 2022-06-20]. Rolle theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20]. William L. Hosch, Rolle’s theorem , Encyklopedia Britannica, britannica.com [dostęp 2023-06-06].
Kategoria:Twierdzenia rachunku różniczkowego