Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie są więc nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory i że i porównywalne, gdy lub W szczególności, jeżeli topologie i są porównywalne, to mówi się, że jest silniejsza, bogatsza bądź większa od a jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od gdy
Własności Jeżeli to słuszne są następujące stwierdzenia: Każdy zbiór otwarty w topologii jest również otwarty w topologii Każdy zbiór domknięty w topologii jest również domknięty w topologii Domknięcie zbioru otwartego w topologii jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii Przekształcenie tożsamościowe jest ciągłe. Przekształcenie tożsamościowe jest otwarte.
W szczególności, jeżeli są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja gdy gdy
Rodzina wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia trywialna/antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).
Przykład Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie: tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w słabą topologię w topologię *-słabą. Zachodzi między nimi następujący związek:
Ogólniej, jeżeli jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności ).
Krata topologii
Rodzina wszystkich topologii w zbiorze tworzy kratę zupełną z działaniami
dla
Krata ta na ogół nie jest komplementarna.
Bibliografia
Kategoria:Relacje topologiczne