Pochodna kowariantna – tensor powstały w wyniku różniczkowania pewnego tensora wyrażonego we współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni euklidesowej i nieeuklidesowej dowolnego wymiaru (w ogólności w rozmaitości pseudoriemannowskiej), z określonym tensorem metrycznym. We współrzędnych kartezjańskich sprowadza się do zwykłej pochodnej cząstkowej.

Użycie pochodnej kowariantnej zamiast zwykłej pochodnej cząstkowej jest niezbędne w analizie wektorowej we współrzędnych krzywoliniowych, np. w ogólnej teorii względności, gdzie pola fizyczne rozchodzą się w 4-wymiarowej zakrzywionej przestrzeni pseudoriemannowskiej.

Motywacja W układach krzywoliniowych pochodna cząstkowa, np. z funkcji skalarnej, nie ma na ogół charakteru tensorowego. Aby otrzymać wielkość tensorową (a więc wielkość geometryczną, czyli taką, która nie zależy od przyjętego układu współrzędnych), definiuje się pochodną kowariantną: jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych.

Podobnie jest dla innych tensorów (wielkości skalarne są tensorami 0 rzędu, wektory są tensorami 1 rzędu; definiuje się tensory 2 i wyższych rzędów). Tensory są obiektami geometrycznymi, dlatego operacje wykonywanie na nich nie powinny zależeć od wyboru układu współrzędnych. W trakcie rozwoju teorii tensorów poszukiwano takich działań na tensorach, które w wyniku dają inne tensory. Jednym z takich działań jest obliczanie pochodnej tensora. Pierwsze podejście, polegające na obliczaniu pochodnej cząstkowej, prowadziło w układach krzywoliniowych do obiektu, który nie był tensorem.

Odkryto, że charakter tensorowy będzie miała tzw. pochodna kowariantna tensora – pochodna cząstkowa uzupełniona o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych.

Pochodna kowariantna tensora redukuje się do pochodnej cząstkowej w prostoliniowym kartezjańskim układzie współrzędnych.

Pochodna kowariantna – podstawowe wzory Pochodną kowariantną oznacza się symbolem średnika, po którym umieszcza się indeks współrzędnej, po której wykonuje się różniczkowanie (czasami zamiast średnika stosuje się slash (/), zaś w 3-wymiarowej przestrzeni znak pionowej kreski ( | ), zaś symbol przecinka oznacza pochodną cząstkową, np.: – pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej – pochodna kowariantna po współrzędnej krzywoliniowej

Używa się także symbolu delty na oznaczenie pochodnej kowariantnej – zamiast średnika; np. zamiast wyrażenia

pisze się

(W poniższych wzorach kolorem oznaczono powtarzające się indeksy, po których należy wykonać sumowanie zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina).

Pochodna wektora kontrawariantnego

gdzie – symbole Christoffela II rodzaju.

Pochodna wektora kowariantnego

Pochodna tensora kontrawariantnego 2-go rzędu

Pochodna tensora kowariantnego 2-go rzędu

Pochodna tensora kontrawariantno-kowariantnego 2-go rzędu

Pochodna dowolnego tensora

Z powyższego widać, że:

pochodna kowariantna = pochodna cząstkowa po tej samej współrzędnej uzupełniona o dodatkowe człony w liczbie równej liczbie indeksów tensora, przy czym każdy indeks kontrawariantny wnosi dodatkowe człony ze znakiem każdy indeks kowariantny wnosi dodatkowe człony ze znakiem

Pochodna kowariantna skalara Pochodna kowariantna skalara jest równa jego pochodnej cząstkowej, tj.

Przykład

Powyższy wzór pozwala skrócić obliczenia.

(a) Obliczmy pochodną kontrawariantną iloczynu tensorów, korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu:

(w przedostatnim równaniu składniki oraz są równe – widać to jawnie, gdy zamieni się indeksy z np. w drugim składniku)

(b) Korzystając zaś z pochodnej skalara, wykorzystując fakt, iż kontrakcja wektorów jest skalarem, mamy natychmiast ten sam wynik

Pochodna kontrawariantna Podnosząc przy pochodnych kowariantnych wskaźnik dotyczący różniczkowania, otrzymuje się tzw. pochodną kontrawariantną:

Dywergencja kowariantna Dywergencja pola wektorowego W dowolnych współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni -wymiarowej euklidesowej (lub przestrzeni pseudoeuklidesowej i ogólniej – przestrzeni pseudoreimannowskiej) dywergencję wyraża wzór

gdzie: – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowych w danym punkcie, – pochodna cząstkowa po współrzędnej krzywoliniowej – współrzędna pole wektorowego w układzie współrzędnych krzywoliniowych.

W powyższym wzorze trzeba wykonać sumowanie po powtarzającym się indeksie przyjmując

Uwaga:

Wyznacznik tensora metrycznego nie jest wielkością stałą, ale zależy od współrzędnych uogólnionych. Np. dla sfery, na której wprowadzono współrzędne uogólnione tensor metryczny ma postać (wyprowadzenie poniższego wzoru – patrz np. tensor metryczny)

Stąd:

– wyznacznik zależy od ( nie jest zmienną, bo dla sfery jest to stały jej promień).

Dywergencja tensora antysymetrycznego Jeżeli dany jest tensor antysymetryczny, to dywergencja tenora ma postać

gdzie: – współrzędna pole tensorowego antysymetrycznego, tj. zmieniające znak przy zamianie indeksów

Dywergencja tensora symetrycznego Jeżeli dany jest tensor symetryczny, to dywergencja tenora ma postać

gdzie: – współrzędne pole tensorowego symetrycznego, tj. takie że nie zmieniają znaku przy zamianie indeksów

Twierdzenia o pochodnej kowariantnej Tw. 1 (o tensorowym charakterze pochodnej kowariantnej)

Składniki pochodnej kowariantnej pola tensorowego transformują się kowariantnie.

Dlatego pole tensorowe powstałe z obliczenia pochodnej kowariantnej tensora – krotnie kowariantnego jest tensorem kowariantnie -krotnym (krotność zaś kontrawariantna nie zmienia się).

Tw. 2 (o pochodnej kowariantnej iloczynu tensorów)

Pochodna kowariantna iloczynu tensorów jest równa sumie iloczynu czynnika pierwszego przez pochodną kowariantną czynnika drugiego oraz iloczynu czynnika drugiego przez pochodną kowariantną czynnika pierwszego, np.

Tw. 3 Pochodna kowariantna tensora metrycznego wynosi zero, tj.

Pochodna absolutna w układzie krzywoliniowym Pochodna zupełna funkcji w układzie kartezjańskim (1) Pochodna funkcji skalarnej

Jeżeli w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej określona jest funkcja wielu zmiennych takich że zmienne są zależne od jednej zmiennej to jej pochodną zupełną nazywa się wyrażenie

przy czym zmienne zależne są zadane znanymi funkcjami od zmiennej tj.

(2) Pochodna funkcji wektorowej

W układzie ortokartezjańskim pochodna zupełna wektora jest wektorem, którego współrzędne są pochodnymi zupełnymi współrzędnych danego wektora, tj.

Pochodna absolutna w układzie krzywoliniowym W układzie krzywoliniowym zmiennych pochodne zupełne tensorów muszą być zastąpione przez pochodne absolutne.

(1) Pochodna absolutna funkcji skalarnej

Pochodna zupełna funkcji wyraża się wzorem analogicznym jak we współrzędnych kartezjańskich, tj.

czyli:

(2) Pochodna absolutna wektora

W układzie krzywoliniowym pochodne zupełne muszą być zastąpiona tzw. pochodnymi absolutnymi takimi że:

– widać, że pochodne cząstkowa przechodzi w pochodną kowariantną. Pochodna absolutna dana jest więc wyrażeniem

Podobnie dla wektora kowariantnego

Jeżeli funkcja wektorowa nie zależy jawnie od parametru to pochodne cząstkowe zerują się, tj. oraz

i powyższe wzory upraszczają się.

Zasady modyfikacji tensorów Jeżeli chce się równania tensorowe znane ze współrzędnych ortokartezjańskich zapisać we współrzędnych krzywoliniowych, to obowiązuje zasada, iż pochodne cząstkowe przechodzą na pochodne kowariantne, a różniczki zupełne przechodzą na różniczki absolutne.

Przykład 1: Równania ruchu cząstki w polu grawitacyjnym (a) Jeżeli cząstka nie podlega oddziaływaniom, to jej przyspieszenie jest zerowe, tj.

gdzie: – czteroprędkość cząstki, – różniczkowy przyrost tzw. interwału czasoprzestrzennego mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.

(b) Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych, równanie ruchu cząstki niepodlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować, zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.:

Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością:

lub

gdzie: – różniczka 4-prędkości cząstki.

Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym

Dzieląc przez i uwzględniając, że znajdujemy

– jest to równanie linii geodezyjnej w przestrzeni z metryką (od której zależą m.in. symbole Christoffela ). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela są takie, że zerują tensor krzywizny i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych; jeżeli jednak przestrzeń jest zakrzywiona na skutek obecności materii, to tensor krzywizny jest niezerowy, a geodezyjne są inne niż proste euklidesowe.

Uwaga:

Wielkość jest czteroprzyśpieszeniem cząstki. Ponieważ symbole Christoffela wyrażają się przez pochodne składowych tensora metrycznego

to widać, że trajektoria cząstki określona jest przez pochodne które pełnią rolę natężeń pola grawitacyjnego, wobec tego tensor metryczny pełni rolę potencjału pola grawitacyjnego (przypomnienie: pochodna potencjału po współrzędnych daje natężenie pola).

Lokalne bazy wektorów: kowariantne i kontrawariantne link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Vector_1-form.svg|mały|257x257px|Rys. 4 Wektor v rozłożony w dwóch bazach: (1) baza e1, e2, e3 (żółta, z lewej) wektorów stycznych do krzywych współrzędnych (czarne) (2) kobaza e1, e2, e3 (niebieska, z prawej) wektorów prostopadłych do powierzchni współrzędnych (szare). Wektory bazy i kobazy nie są do siebie równoległe, chyba że współrzędne (q1, q2, q3) są ortogonalne. Uwaga 1: Poniższe rozdziały zestawiają niektóre pojęcia stanowiące podstawę do wprowadzenia pojęcia pochodnej kowariantnej. Bardziej wyczerpujące opracowanie znajduje się w artykule współrzędne krzywoliniowe. Oznaczenia: Odtąd w artykule tensory oznacza się literami pogrubionymi.

Załóżmy, że mamy przestrzeń wektorową -wymiarową.

(1) Definiujmy dowolny układ współrzędnych – na ogół będzie to układ współrzędnych krzywoliniowych

(2) W każdym punkcie przestrzeni ustalamy lokalną bazę niezależnych liniowo wektorów, których będziemy używać do znajdowania i wyliczania składowych wektorów; wektory bazy zależą od punktu przestrzeni, przy czym wyróżnia się: bazy kowariantne – zbiory wektorów stycznych do linii współrzędnych, (z dolnymi indeksami), bazy kontrawariantne – zbiory wektorów prostopadłych do powierzchni współrzędnych, (z górnymi indeksami).

(3) W każdym punkcie przestrzeni definiujemy dwa typy współrzędnych wektorów: współrzędne kontrawariantne (zapisywane z górnymi indeksami): gdy zostały wyrażone jako kombinacje liniowe wektorów bazy kowariantnej

współrzędne kowariantne (zapisywane z dolnymi indeksami): gdy zostały wyrażone jako kombinacje liniowe wektorów bazy kontrawariantnej

Uwagi:

(1) Wektor, któremu przyporządkowano współrzędne kontrawariantne, nazywa się skrótowo „wektorem kontrawariantnym”.

(2) Wektor, któremu przyporządkowano współrzędne kowariantne, nazywa się skrótowo „wektorem kowariantnym”.

(3) Jednakże: dany wektor jest wielkością niezależną od wyboru bazy, w której jest przedstawiany za pomocą współrzędnych: można go przedstawić w dowolnej bazie.

(4) To, że współrzędne wektora są różne w tych dwóch bazach nie oznacza, że mamy dwa różne wektory: wektor jest ten sam, ale wyrażony za pomocą dwóch różnych baz.

Pole tensorowe Utożsamiamy pojęcie tensora z polem tensorowym,, tzn. zakładamy, że składowe tensorów (skalara, wektora, ...) można wyrażać w lokalnych bazach za pomocą funkcji współrzędnych, które są funkcjami gładkimi, zmieniającymi się na ogół przy przechodzeniu z danego punktu przestrzeni do innego. Założenie to pozwala wykonywać np. operacje różniczkowania na współrzędnych tensorów.

Lokalne bazy tensorów