Zbiór otwarty – w danej przestrzeni topologicznej to dowolny element topologii
Dopełnienie zbioru otwartego nazywane jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń
W topologii ogólnej funkcje, które zachowują otwartość zbioru poprzez przeciwobrazy, nazywane są funkcjami ciągłymi, natomiast funkcje, które zachowują otwartość poprzez obrazy, nazywane są odwzorowaniami otwartymi.
Własności zbiorów otwartych Poniższe trzy własności zbiorów otwartych są powtórzeniem aksjomatów przestrzeni topologicznej : Zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi (tj. należą do ). Suma mnogościowa dowolnej rodziny zbiorów otwartych (nawet nieprzeliczalnej) jest zbiorem otwartym (tj. należy do ). Część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym (tj. należy do ).
Uwaga: Nieskończony iloczyn zbiorów otwartych może nie być zbiorem otwartym. Np. na prostej rzeczywistej z topologią standardową (tj. wyznaczoną przez metrykę euklidesową) jako zbiory otwarte przyjmuje się przedziały otwarte. Iloczyn nieskończony przedziałów otwartych może być przedziałem domkniętym:
Baza i podbaza topologii Rodzina wszystkich zbiorów otwartych tworzy topologię przestrzeni; w tej rodzinie wyróżnia się podrodziny: baza przestrzeni topologicznej – podrodzina topologii, z której za pomocą sumowania mnogościowego elementów bazy można otrzymać dowolny zbiór otwarty, podbaza przestrzeni topologicznej – podrodzina bazy, z której za pomocą skończnego mnożenia mnogościowego elementów podbazy można otrzymać dowolny zbiór z bazy.
Topologia w przestrzeniach metrycznych
Tw. (topologia w przestrzeni metrycznej) W przestrzeni metrycznych topologię czyli rodzinę zbiorów otwartych tworzą zbiory, które z każdym swoim punktem zawierają pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie.
Tj. jeżeli i dla każdego punktu istnieje kula otwarta o środku w punkcie , to też jest otwarty.
Dowód twierdzenia wymaga sprawdzenia, czy tak zdefiniowane zbiory otwarte spełniają aksjomaty topologii.
Tw. Kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Dowód: Kula zawsze spełnia warunek, jaki nakłada powyżej podana definicja zbiorów otwartych: dla każdego punktu kuli zawsze istnieja mniejsza kula w niej zawarta.
Przykłady thumb|200px|Przykład zbioru domkniętego na płaszczyźnie: dla wszystkich punktów brzegu zbioru istnieją otoczenia zawierające zarówno punkty należące do zbioru jak nie należące do niego. Dopełnieniem tego zbioru jest zbiór otwarty na płaszczyźnie.
Na prostej ze standardową topologią zbiorami otwartymi są przedziały otwarte.Np. przedział jest otwarty, gdyż dla każdego punktu istnieje „kula otwarta” o środku w zawarta w np. możemy przyjąć równe połowie mniejszej z odległości danego punktu od brzegów przedziału, Z drugiej strony przedział nie jest zbiorem otwartym, bo dla punktów brzegowych każde ich otoczenie zawiera punkty należące i nie mależące do przedziału Zgodnie z aksjomatami suma dowolnej rodziny przedziałów otwartych jest zbiorem otwartym. Jest też odwrotnie – każdy zbiór otwarty na prostej jest sumą pewnych przedziałów otwartych, co oznacza, że rodzina przedziałów otwartych jest bazą tej przestrzeni. Na płaszczyźnie euklidesowej zbiorem otwartym jest np. prostokąt bez brzegu zaś prostokąt nie jest otwarty w gdyż dla punktów brzegowych prostokąta nie istnieją zbiory otwarte w nim zawarte (prostokąt ten jest de facto domknięty, zaś jego dopełnienie jest zbiorem otwartym). Na prostej z topologią strzałki zbiorami otwartymi są przedziały postaci Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-10-09].
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów