thumb|300x300px|Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywany ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.
W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, np. procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej procesu Wienera używa się m.in. do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).
W fizyce proces Wienera służy do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnych procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.
Definicja Proces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej nazywa się standardowym procesem Wienera, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. Warunek początkowy prawie na pewno. 2. Niezależne przyrosty
Dla dowolnych chwil przyrosty
są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3. Stacjonarne przyrosty normalne
Przyrosty procesu Wienera określone dla dwóch dowolnych chwil , mają rozkład normalny o średniej i wariancji równej odległości czasowej rozważanych chwil , tj. , gdzie 4. Ciągłość trajektorii
Trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór że oraz dla każdego funkcja jest ciągła.
Uwagi:
(1) Niektórzy autorzy zakładają, że oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe.
(2) Funkcję nazywamy trajektorią procesu. Jest ona wyznaczona przez element
przestrzeni zdarzeń elementarnych .
(3) Zdefiniowany powyżej proces Wienera nazywa się standardowym. Rozważa się modyfikacje standardowego procesu Wienera poprzez zmianę punktu początkowego na inny niż zerowy oraz zmianę wariancji przyrostów , gdzie - dowolna stała dodatnia. Jeżeli np. proces Wienera opisuje proces dyfuzji, to zwiększenie wariancji będzie odpowiadać większej stałej dyfuzji opisywanego procesu.
Twierdzenia Tw. 1 Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla dowolnych chwil wektor losowy
ma (wielowymiarowy) rozkład normalny.
Nie wszystkie procesy gaussowskie są procesami Wienera. Warunki konieczne do tego określa poniższe twierdzenie.
Tw. 2 Proces gaussowski jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe, b. dla wszelkich c. dla wszelkich .
Tw. 3 Proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c.
Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów, o czym mówi poniższe twierdzenie.
Tw. 4 Proces stochastyczny jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. podane w definicji procesu Wienera oraz 3a. przyrosty procesu są stacjonarne, tj. dla wszelkich zmienne oraz mają te same rozkłady, 3b. 3c. dla wszelkich .
Własności Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności: Cechy trajektorii – zgodnie z definicją (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, ponadto można dowieść, że spełniają one warunek Höldera z dowolnym wykładnikiem mniejszym od . Nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone (na każdym przedziale), oraz że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu). Proces Wienera ma mocną własność Markowa. Prawo odbicia procesu Wienera – po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru
Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorii w otoczeniu 0).
Operacje zachowujące własności procesu Wienera Niech będzie procesem Wienera. Wówczas każdy ze zdefiniowanych niżej procesów jest również procesem Wienera (odbity proces Wienera), (proces Wienera o czasie przeskalowanym przez pewne ), dla oraz dla (inwersja czasu w procesie Wienera), dla oraz dla (dla dowolnego ); zob. prawo odbicia procesu Wienera.
Konstrukcja procesu Wienera z procesu błądzenia losowego mały|Proces Wienera konstruowany z procesu błądzenia losowego o rosnącej liczbie kroków w jednostce czasu, odpowiednio skalowanego, zgodnie z twierdzeniem Donskera.|300x300px Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zakładając, że skoki zachodzą co coraz krótsze skoki czasu i zmniejszając odpowiednio wielkość skoku przestrzennego uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch coraz bardziej chaotyczny i coraz bardziej gęsty na zadanym odcinku czasu T. Proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej do zera. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje , które dowodzi, że ruch graniczny ma skończoną wariancję (tzn. jest zbieżny).
Proces Wienera — symulacja numeryczna W symulacjach numerycznych proces Wienera można aproksymować za pomocą dyskretnych przyrostów o rozkładzie normalnym, zgodnie z definicją tego procesu. Czas symulacji dzieli się na równych kroków o długościach .
W języku Python (z użyciem biblioteki NumPy) konstrukcja pojedynczej trajektorii może wyglądać następująco: T = 1.0 n = 50000 dt = T / n # przyrosty N(0, dt) dW = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=n)
# proces Wienera W = np.concatenate((, np.cumsum(dW)))W 5 linii kodu definiuje się przyrosty procesu jako zmienne losowe o rozkładzie normalnym ,
gdzie oznacza odchylenie standardowe rozkładu normalnego, co odpowiada własnościom procesu Wienera, iż wariancja na przedziale długości wynosi . Instrukcja ta tworzy wektor .
W 8 linii kodu tworzy się trajektorię procesu poprzez sumowanie kolejnych przyrostów (przesunięć losowych) , tj. (a) oblicza się wektor jako sumę skumulowaną z wektora przyrostów za pomocą instrukcji np.cumsum(dW) (b) dodaje się na początek tego wektora wektor położenia początkowego za pomocą instrukcji np.concatenate. Odpowiada to obliczeniom:
Wektor stanowi pojedynczą, dyskretną trajektorię ruchu Browna w przedziale czasu , złożoną z losowych położeń cząstki w chwilach czasu . Trajektoria ta stanowi aproksymację trajektorii Wienera , określonej dla ciągłego czasu
Np. jeżeli dW = np.array([0.12, -0.08, 0.25, ...])
to
np.cumsum(dW) → [0.12, 0.04, 0.29, ...]
np.concatenate((, ...)) dodaje wartość początkową W0 = 0→ [0, 0.12, 0.04, 0.29, ...]
Miara procesu Wienera Proces Wienera jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę na przestrzeni z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych poprzez warunek
W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę można wyznaczyć ze wzoru
gdzie jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni funkcji ciągłych na z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni .
Proces wielowymiarowy Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces -wymiarowy definiuje się jako proces
gdzie to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.
Zobacz też Błądzenie losowe
Przypisy
Bibliografia
.
Kategoria:Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Kategoria:Matematyka finansowa Kategoria:Procesy stochastyczne