mały|Przykład iniekcji mały|Inny przykład iniekcji mały|Wykres funkcji – zwanej eksponensem – w kartezjańskim układzie współrzędnych. Liczba to podstawa logarytmu naturalnego, a ta funkcja jest przykładem iniekcji.
Funkcja różnowartościowa, injekcja, funkcja 1-1, funkcja jednokrotna – rodzaj funkcji matematycznych definiowany na kilka równoważnych sposobów: injekcja dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Jeśli funkcja jest injekcją, to dla dowolnych dwóch elementów zachodzi wynikanie [dostęp 2025-11-23]. Injection , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-11-23].:
jednakowe wartości są przyjmowane tylko dla jednakowych argumentów:
każda wartość takiej funkcji jest przyjmowana dokładnie raz – przeciwobraz singletonu ma co najwyżej jeden element Paweł Urzyczyn, Podstawy matematyki – klasówka, 12 grudnia 2024, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), mimuw.edu.pl [dostęp 2025-11-23].; przy injekcji przeciwobraz obrazu to wyjściowy zbiór [dostęp 2025-11-23].:
istnieje lewostronna funkcja odwrotna:
dla dowolnych funkcji zachodzi wynikanie (implikacja):
Dwie pierwsze definicje są równoważne na mocy logicznego prawa kontrapozycji.
Termin injekcja powstał najpóźniej w 1950 roku, kiedy to Saunders Mac Lane użył go w jednym z amerykańskich czasopism matematycznych Jeff Miller, Injection, surjection and bijection, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-12-16]..
Przykłady i własności mały|Diagram przemienny przedstawiający injekcję jako funkcję odwracalną lewostronnie mały|Złożenie dwóch funkcji iniekcyjnych również jest injekcją
numer PESEL – funkcja przypisująca osobie jej numer PESEL jest injekcją - dwie osoby nie mogą mieć jednakowego numer PESEL; transliteracje to injekcje między zbiorami ciągów (krotek) znaków. Niektóre transliteracje są też injekcjami między zbiorami samych znaków; pierwiastek dowolnego stopnia naturalnego; funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej; przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, przez co nie jest „na” przy takiej samej przeciwdziedzinie; funkcje kołowe; dowolna inna funkcja ściśle monotoniczna (ściśle rosnąca lub ściśle malejąca); negacja na zbiorze zdań oznajmujących danego języka; wszelkie bijekcje.
Wprost z definicji wynika, że injekcja nie może być funkcją parzystą (jeśli jej dziedzina zawiera jakąkolwiek niezerową wartość) ani okresową, ponieważ własności te są zdefiniowane przez równość wartości dla różnych argumentów. Injekcjami nie są również: wielomiany rzeczywiste stopnia parzystego, nawet jeśli nie są funkcjami parzystymi; np. , przy czym możliwe jest zawężenie dziedziny wielomianu, tak by był on injekcją, ale tylko jako funkcja określona na zawężonej dziedzinie (np wielomian jest injekcją na zbiorze liczb większych od 1). funkcja Collatza – jest sumą mnogościową injekcji na zbiorach liczb parzystych i nieparzystych, jednak dla argumentu parzystego i nieparzystego może przyjąć jednakową wartość. Przykładowo
Zobacz też monomorfizm twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera – o konsekwencji istnienia pewnych injekcji zasada szufladkowa Dirichleta – fakt nieistnienia pewnych injekcji
Przypisy
Bibliografia
R