Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie takie, że i jego odwrotność (ozn. ) są homomorfizmami.

O strukturach i powiemy, że są one względem siebie izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm ze struktury , w strukturę .

Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady

Izomorfizm z grupy w grupę to bijekcja zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że Izomorfizm z ciała w ciało to bijekcja taka, że Izomorfizm z częściowego porządku w częściowy porządek to funkcja wzajemnie jednoznaczna

Teoria kategorii Morfizm nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm taki, że oraz Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13..

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to jest izomorfizmem, zaś nazywane jest po prostu odwrotnością Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność jest także izomorficzna z odwrotnością O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmemBucur, Deleanu, op. cit., s. 13–14.. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady W Set izomorfizmami są bijekcje. W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup. W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe. W Top izomorfizmami są homeomorfizmy. W Met izomorfizmami są izometrie. W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Zobacz też Algebra ogólna Epimorfizm Homomorfizm Monomorfizm Morfizm

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa Polskojęzyczna

Anglojęzyczna

Linki zewnętrzne Isomorphism , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Metodologia nauki Kategoria:Morfizmy Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne