Przestrzeń Grothendiecka (przestrzeń Banacha o własności Grothendiecka) – przestrzeń Banacha o tej własności, że każdy ciąg punktów jej przestrzeni sprzężonej, który jest zbieżny w sensie *-słabej topologii jest również zbieżny w sensie słabej topologii. Równoważnie, przestrzeń Banacha jest przestrzenią Grothendiecka, gdy dla każdego ciągu funkcjonałów liniowych i ciągłych na który spełnia warunek

zachodzi również

Nazwa pojęcia pochodzi od A. Grothendiecka, który udowodnił, że przestrzenie Banacha funkcji ciągłych na ekstremalnie niespójnych przestrzeniach zwartych Hausdorffa wyposażone w normę supremum, są przestrzeniami GrothendieckaA. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compactes d’espaces du type C(K), „Canadian J. Math”. 5 (1953), 129–173. (sam Grothendieck nie nazywał ich w taki sposób). W szczególności, przestrzeń jest więc przestrzenią Grothendiecka ( oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną). Ogólniej, każda przestrzeń Banacha postaci jest przestrzenią Grothendiecka.

Własności i przykłady Ilorazy (a więc także podprzestrzenie komplementarne) przestrzeni Grothendiecka są przestrzeniami Grothendiecka. Przestrzeń izomorficzna z przestrzenią Grothendiecka jest przestrzenią Grothendiecka. Domknięte podprzestrzenie przestrzeni Grothendiecka nie muszą być przestrzeniami Grothendiecka. Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Grothendiecka jest słabo ciągowo zupełna. Każda przestrzeń refleksywna ma własność Grothendiecka. Dowód. Niech będzie przestrzenią refleksywną. Wówczas skąd wynika, że topologie słaba i *-słaba w są równe. W szczególności, więc mają te same ciągi zbieżne. □ Przeciwna implikacja zachodzi dla przestrzeni ośrodkowych: każda ośrodkowa przestrzeń Grothendiecka jest refleksywna. Wynika to bezpośrednio z następującego twierdzenia (oraz faktu, że przestrzeń Banacha jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy identyczność na jest operatorem słabo zwartym: Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następujące warunki są równoważne: 1) jest przestrzenią Grothendiecka, 2) jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Banacha, to każdy operator liniowy i ciągły jest słabo zwarty, 3) każdy operator liniowy i ciągły jest słabo zwarty. W szczególności, ponieważ przestrzeń jest ośrodkowa, ale nie jest refleksywna, z twierdzenia tego wynika, że nie jest przestrzenią Grothendiecka (inne dowody tego faktu są podane niżej). Dowód. 1) ⇒ 2). Niech będzie przestrzenią Grothendiecka, będzie ośrodkową przestrzenią Banacha oraz niech będzie operatorem liniowym i ciągłym. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony jest słabo zwarty. Z twierdzenia Eberleina-Szmuljana wynika, że słaba zwartość operatora jest równoważna temu by dla każdego ciągu ograniczonego w dało się wybrać podciąg słabo zbieżny z ciągu Ponieważ jednak jest ośrodkowa, domknięte i ograniczone podzbiory są metryzowalne w *-słabej topologii, a więc *-słabo ciągowo zwarte (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu). Istnieje więc podciąg ciągu który jest *-słabo zbieżny. Ponieważ operator jest ciągły, względem *-słabych topologii w i ciąg wartości jest zbieżny *-słabo w a więc z założenia, że jest przestrzenią Grothendiecka, ciąg zbiega słabo w dowodząc, że operator (a tym samym również ) jest słabo zwarty.

Implikacja 2) ⇒ 3) jest spełniona automatycznie, ponieważ jest przestrzenią ośrodkową.

Pozostaje do wykazania implikacja 3) ⇒ 1). Niech będzie ciągiem elementów przestrzeni zbieżnym *-słabo do 0. W szczególności, dla dowolnego elementu przestrzeni funkcjonał na dany wzorem jest *-słabo ciągły oraz ciąg skalarów zbiega do 0. Niech

Wzór ten definiuje operator liniowy i ciągły który z założenia jest słabo zwarty. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że jest również słabo zwarty, co oznacza, że

Przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią sprzężoną przestrzeni (zob. dualizm między a ). Niech będzie bazą kanoniczną przestrzeni tj. dla każdego zachodzi

Dla każdego zachodzi wówczas

Wynika stąd, że

Jednak

gdyż przyjmuje wartości w co dowodzi, że zbiega słabo do 0. □

Przestrzeń Hardy'ego jest przestrzenią GrothendieckaJ. Bourgain, H∞ is a Grothendieck space, „Studia Math.”, 75 (1983), s. 193–216.. Każda algebra von Neumanna (a więc w szczególności przestrzeń operatorów ograniczonych i ciągłych na przestrzeni Hilberta) jest przestrzenią GrothendieckaH. Pfitzner, Weak compactness in the dual of a C*-algebra is determined commutatively, „Math. Ann.”, 298 (1994), s. 349–371.. Podobne twierdzenie zachodzi również w nieco szerszej klasie C*-algebr: każda C*-algebra Rickarta jest przestrzenią GrothendieckaK. Saito, J.D. Maitland Wright, C*-algebras which are Grothendieck spaces. „Rend. Circ. Mat. Palermo” (2), 52(1) (2003), 141–144.. Przestrzeń operatorów ograniczonych i ciągłych na przestrzeni refleksywnej nie musi być jednak przestrzenią GrothendieckaT. Kania, A reflexive Banach space whose algebra of operators is not a Grothendieck space, „J. Math. Anal. Appl.” 401, (2013), s. 242–243.. Gdy to ℓp-suma ciągu przestrzeni Banacha jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni jest przestrzenią Grothendiecka. -sumy przestrzeni Grothendiecka (nawet przestrzeni skończenie wymiarowych) nie muszą być przestrzeniami Grothendiecka – stosownym kontrprzykładem jest ℓ∞-suma przestrzeni n-wymiarowych z normą tj.

(przestrzeń ta zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z W.B. Johnson, A complementary universal conjugate Banach space and its relation to the approximation problem, „Israel J. Math.” 13 (3–4) (1972), s. 301–310.). Jeżeli jest miarą, która nie jest czysto atomowa, to przestrzeń funkcji całkowalnych (w sensie Bochnera) w p-tej potędze o wartościach w przestrzeni Banacha jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy jest refleksywnaS. Díaz, Grothendieck’s property in Lp(X), „Glasgow Mathematical Journal”, 37, 3 (1995), s. 379–382. (wówczas sama przestrzeń jest refleksywna).

Własność Grothendiecka w przestrzeniach C(K) funkcji ciągłych W dalszym ciągu oznacza zwartą przestrzeń Hausdorffa oraz oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone z normą supremum. Grothendieck udowodnił, że jeżeli jest zwartą przestrzenią ekstremalnie niespójną, to ma własność Grothendiecka. Andô udowodnił, że tę samą własność mają przestrzenie gdy jest przestrzenią σ-Stone’owskąT. Andô, Convergent sequences of finitely additive measures, „Pacificfic J. Math.” 11 (1961), s. 395–404.. Seever uogólnił te wyniki, pokazując, że jeżeli jest zwartą F-przestrzenią, to przestrzeń ma własność GrothendieckaG.L. Seever, Measures on F-spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 133 (1968), s. 267–280.. Jeżeli jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzeń jest przestrzenią Grothendiecka, to nie zawiera ciągów zbieżnych poza tymi, które są prawie wszędzie stałe, tj. trywialne. Dowód. Rozumując nie wprost, niech będzie nietrywialnym ciągiem zbieżnym w przestrzeni (nietrywialność oznacza, że ciąg ten przyjmuje nieskończenie wiele wartości). Z twierdzenia Riesza o reprezentacji wynika, że przestrzeń sprzężoną do można utożsamić z przestrzenią regularnych miar borelowskich na Ponieważ odwzorowanie przyporządkowujące elementowi deltę Diraca (a więc miarę borelowską na ) jest zanurzeniem homeomorficznym względem *-słabej topologii w przestrzeni w więc ciąg jest *-słabo zbieżny. Z założenia, że jest przestrzenią Grothendiecka, ciąg ten jest zbieżny w słabej topologii przestrzeni co jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż zbiór

jest dyskretny w słabej topologii. Istotnie, dla każdego zbioru borelowskiego wzór

określa funkcjonał liniowy i ciągły na W szczególności, dla każdej liczby naturalnej zbiór

jest otwarty w słabej topologii przestrzeni Z drugiej strony, jedynym elementem zbioru który należy do jest co dowodzi, że jest dyskretny. □ Wynika stąd, że przestrzeń nie jest przestrzenią Grothendiecka, gdyż jest ona izomorficzna z ( oznacza najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową, a zawiera nietrywialny ciąg zbieżny). Fakt ten można pokazać jednak w sposób elementarny: Dowód. Niech będzie bazą kanoniczną przestrzeni Wówczas jest ciągiem zbieżnym *-słabo do 0, ponieważ

dla każdego ciągu z Ciąg ten jednak nie jest zbieżny w słabej topologii. Istotnie, niech będzie elementem określonym wzorem

Granica tego ciągu nie istnieje, a więc ciąg nie jest słabo zbieżny. □ Istnieją przestrzenie zwarte które nie mają ciągów zbieżnych, ale dla których nie jest przestrzenią Grothendiecka. Cembranos udowodniła jednak, że przestrzeń jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera ona komplementarnej podprzestrzeni izomorficznej z przestrzenią P. Cembranos, C(K, E) contains a complemented copy of c0, „Proc. Amer. Math. Soc.” 91 (1984), s. 556–558.. Twierdzenie Cembranos sprowadza się de facto do sprawdzenia, że przestrzenie mają własność Pełczyńskiego i zastosowania rezultatu RäbigeraF. Räbiger, Beiträge zur Strukturtheorie der Grothendieck-Räume, Sitzungsber., Heidelberger Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 4, 78 S., mówiącego że przestrzenie Banacha o własności Pełczyńskiego są przestrzeniami Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawierają komplementarnej podprzestrzeni izomorficznej z (Cembranos dowodzi tego faktu niezależnie.) Ghenciu i Lewis dowiedli, że przestrzeń jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony operator liniowy jest całkowicie ciągłyI. Ghenciu, P. Lewis, Completely continuous operators. „Colloq. Math”. 126, No. 2, (2012), s. 231–256.. Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej o wartościach w przestrzeni Banacha jest przestrzenią Grothendiecka tylko w dwóch przypadkach: 1) jest skończone i jest przestrzenią Grothendiecka, 2) jest skończenie wymiarowa i jest przestrzenią GrothendieckaS.S. Khurana, Grothendieck spaces, „Illinois J. Math.”, 22 (1978), s. 79–80.. Cembranos wzmocniła to twierdzenie dowądząc, że jeżeli jest nieskończoną przestrzenią zwartą oraz jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to przestrzeń zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z Gdy jest taką przestrzenią zwartą Hausdorffa, że jest przestrzenią Grothendiecka, to nie musi zawierać izomorficznej kopii przestrzeni Pierwszy przykład takiej przestrzeni pod założeniem hipotezy continuum, podał TalagrandM. Talagrand, Un nouveau C(K) qui possede la propriete de Grothendieck, „Israel J. Math”. 37 (1980), s. 181–191. – przykład Talagranda ma tę dodatkową własność, iż żaden iloraz skonstruowanej przez niego przestrzeni nie zawiera Haydon zbudował w ZFC przykład przestrzeni Grothendiecka która nie zawiera R. Haydon, A non-reflexive Grothendieck space that does not contain \ell^{\infty}, „Israel J. Math.” 40 (1981), 65–73.. Istnieją także zwarte przestrzenie spójne dla których przestrzeń ma te własnościP. Koszmider, Banach spaces of continuous functions with few operators, „Math. Ann.” 330 (2004), 1, s. 151–183. Jest niesprzeczne z ZFC, że istnieje algebra Boole’a mocy mniejszej niż continuum o tej własności, że przestrzeń ma własność Grothendiecka ( oznacza przestrzeń Stone’a algebry )C. Brech, On the density of Banach spaces C(K) with the Grothendieck property, „Proc. Amer. Math. Soc.” 134, 12 (2006), s. 3653–3663..

Przypisy

Bibliografia J. Diestel, Geometry of Banach spaces-Selected Topics, Springer, 1975.

M. González, T. Kania, Grothendieck spaces: the landscape and perspectives, Japanese Journal of Mathematics 16, 247–313 (2021).

Kategoria:Przestrzenie Banacha