Relacje Greena – pięć relacji równoważności definiowanych na dowolnej półgrupie, związanych z pojęciem ideału głównego. Relacje te oznaczane są symbolami i Relacje i to relacje generowania tego samego ideału, odpowiednio lewo-, prawo- i obustronnego. Relacja jest przecięciem i Relacja to złożenie tych relacji. Relacje te zostały wprowadzone przez Jamesa A. Greena w 1951 roku.
Definicja Niech będzie półgrupą i Przez oznaczamy półgrupę z jedynką dołączoną, jeśli jej wcześniej nie było.
Wtedy ( i generują ten sam lewostronny ideał główny); ( i generują ten sam prawostronny ideał główny); Ten napis jest poprawny, ponieważ relacje i są przemienne dla dowolnej półgrupy. (relacja jest złożeniem relacji i ); ( i generują ten sam obustronny ideał główny);
Okazuje się, że wszystkie z tych relacji są relacjami równoważności. (Jest to natychmiastowe w przypadku i Przypadek jest nieco trudniejszy i dowód można znaleźć na przykład w – zob. sekcję Bibliografia).
Oznaczenia Niech i niech będzie półgrupą. Wtedy oznaczamy: jest klasą abstrakcji elementu w relacji
i analogicznie:
i
są klasami abstracji elementu odpowiednio w relacjach i
Przykłady W dowolnej grupie mamy
W nieskończonej półgrupie cyklicznej mamy
Ten sam wzór jest prawdziwy dla półgrupy W pełnej półgrupie transformacji zbioru oznaczanej symbolem mamy Używana jest standardowa w teorii półgrup notacja, w której argumenty funkcji zapisywane są po lewej stronie symbolu funkcji. gdzie oznacza jądro dla dowolnego
Analogiczne wzory zachodzą dla półgrupy transformacji liniowych przestrzeni oznaczanej symbolem
Częściowe porządki na zbiorach klas Dla dowolnej półgrupy istnieją naturalne porządki na i zadane przez zawieranie ideałów odpowiadających klasom:
oraz
Okazuje się, że zdefiniowane w ten sposób relacje są relacjami porządku.
Jeżeli lub spełniają następujący warunek: każdy niepusty podzbiór zawiera element minimalny,
to mówimy, że spełnia odpowiednio lub Jeżeli półgrupa spełnia zarówno jak i to zachodzi równość
Własności Zawierania Dla każdej półgrupy zachodzą następujące zawierania:
W pewnych szczególnych klasach półgrup zachodzi jednak nie jest to prawdą w ogólności.
Lemat i twierdzenie Greena Następujący fakt został pokazany przez A.J. Greena i znany jest jako lemat Greena.
Niech oraz Niech będą takimi elementami, że (takie elementy istnieją, skoro ). Wtedy odwzorowania dla oraz dla są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami odpowiednio z na i z na Przekształcenia te zachowują -klasy argumentów.
Natychmiastowym wnioskiem z lematu Greena jest, że wszystkie -klasy są równoliczne. Z dualnej wersji lematu Greena wynika, że wszystkie -klasy są równoliczne. Z lematu Greena można również wyprowadzić równoliczność -klas zawartych w tej samej -klasie.
Wnioskiem z lematu Greena jest też następujące twierdzenie Greena.
Jeżeli jest -klasą, to zachodzi jedna z dwóch możliwości: Albo (czyli iloczyn dowolnych dwóch elementów znajduje się poza ), albo i jest grupą.
Uwagi
Bibliografia Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society. Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.
Kategoria:Teoria półgrup Kategoria:Lematy algebry