Obwiednia () – matematyczne pojęcie z zakresu geometrii różniczkowej. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny. W otoczeniu dowolnego punktu należącego do obwiedni znajdują się zatem zarówno punkty należące do członków tej rodziny, jak i punkty nienależące do żadnego z członków.
Obwiednia powierzchni parametrycznej Definicja frame|Obwiednia rodziny prostych Niech dane będzie odwzorowanie p opisujące -wymiarową powierzchnię zanurzoną w -wymiarowej przestrzeni w czasie
Obwiednią E powierzchni p względem parametru jest zbiór punktów spełniających warunek:
gdzie jest liniową podprzestrzenią styczną do powierzchni w punkcie Przestrzeń styczna jest rozpięta na wektorach (dla ). Opisany warunek można zapisać:
Powierzchnia trójwymiarowa Dla przypadku trójwymiarowego (n=3) równanie obwiedni powierzchni ma postać:
Powyższe równanie może być zapisane z użyciem iloczynu skalarnego wektora oraz wektora normalnego do powierzchni p w punkcie
gdzie jest iloczynem wektorowym pochodnych cząstkowych odwzorowania p:
Przykład frame|Obwiednią poruszającego się wzdłuż osi OX jednostkowego okręgu w dwuwymiarowej przestrzeni OXY są dwie proste oraz
Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY jest sparametryzowany kątem
pochodne cząstkowe względem i wynoszą:
Równanie obwiedni ma zatem postać:
zaś samą obwiednię stanowią dwie proste oraz na płaszczyźnie OXY.
Obwiednia powierzchni implicite Definicja Niech dana będzie powierzchnia w przestrzeni -wymiarowej opisana równaniem:
gdzie oraz Obwiednią E powierzchni opisanej przy pomocy są punkty dla których spełnione są:
Przykład Jednostkowy okrąg poruszający się ruchem prostoliniowym wzdłuż osi OX w przestrzeni dwuwymiarowej OXY opisany jest za pomocą:
Pochodna cząstkowa względem wynosi:
Równanie obwiedni ma zatem postać:
z czego wynika, iż samą obwiednię stanowią dwie proste
Zobacz też geometria różniczkowa krzywa powierzchnia
Przypisy
Bibliografia Flaquer J., Garate G., Pargada M.: Envelopes of moving quadric surfaces, CAGD 9, 1992. Eisenhart L.P.: A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover 2004.
Linki zewnętrzne
Envelope , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-21].
Kategoria:Geometria różniczkowa Kategoria:Geometria analityczna Kategoria:Rodzaje krzywych