Macierz klatkowa – rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.
Definicja formalna Rozważmy macierze:
Wówczas macierz zdefiniowaną następująco:
nazywamy macierzą klatkową. Macierz można zapisać w postaci
Przykład Macierz:
może zostać podzielona na 4 klatki :
Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako:
Macierz klatkowo-diagonalna Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna ma postać: ,
gdzie jest macierzą kwadratową.
Mnożenie macierzy klatkowych Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to: ,
gdzie Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.
Wyznacznik macierzy klatkowych Niech będzie ciałem. Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu to: Dowód indukcyjny (względem ) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej
Niech Wtedy
Załóżmy, że teza zachodzi dla
Niech
Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
gdzie to macierz powstała z macierzy poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast z macierzy poprzez wykreślenie -tego wiersza oraz -tej kolumny.
Ponieważ więc z założenia indukcyjnego:
Po podstawieniu:.
Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu , to: .
Przypisy
Bibliografia
K