mały|Wykres przykładowej funkcji czwartego stopnia

Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci przy

Rys historyczny W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545 r.

Najprostsze przypadki równań W pewnych przypadkach równanie

można rozwiązać prostszymi metodami.

Równanie dwukwadratowe Jeśli czyli gdy jest postaci:

to równanie jest znane jako dwukwadratowe Jolanta Schilling, Pojęcie i przykłady równań dwukwadratowych. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-18]. Matematyka elementarna. Funkcja kwadratowa, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-08-18]. lub bikwadratowe. Aby je rozwiązać, można podstawić Wtedy otrzymuje się równanie kwadratowe:

Równanie zwrotne Jeśli oraz czyli gdy jest postaci

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez i otrzymując

Podstawiając otrzymuje się i równanie kwadratowe:

z którego oblicza się a potem wyznacza się

Równanie ze znanym jednym z pierwiastków Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek równania , to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian przez redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie, można znaleźć wszystkie rozwiązania równania .

Redukcja równania ogólnego Równanie jest redukowalne do postaci

Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez otrzymując:

Następnie stosuje się podstawienie prowadzące do:

Po wymnożeniu otrzymuje się:

a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:

Jeśli oznaczy się jako

to równanie zostało sprowadzone do postaci:

Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu

Rozwiązywanie równania zredukowanego Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:

Metoda Descartes’a-Eulera Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci

dla (równanie nie jest dwukwadratowe).

Znajdowanie jednego pierwiastka Wprowadza się trzy zmienne spełniające równanie

Wówczas

a stąd

Mnożąc obie strony przez 16 i podstawiając wyrażenia na dane przez powyższe równania, otrzymuje się:

Każda trójka liczb spełniająca równanie daje rozwiązanie równania . Jeśli liczby spełniają równania

to spełniają one również równanie . Jeśli równanie przekształci się do

to układ równań - jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki „równania rozwiązującego”:

Niech będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby a będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby przy którym będzie spełnione równanie powyżej (ponieważ to i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby spełniają równania -, więc również równanie . Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania :

Znajdowanie wszystkich pierwiastków „Równanie rozwiązujące”

ma pierwiastki

Następnie wyznacza się liczby tak że oraz

Wówczas liczby spełniają równania -, a zatem również równanie . Otrzymuje się więc

oraz

a stąd

Skoro

to dla ostatniej równości używa się równań oraz więc otrzymuje się równanie:

więc liczby

spełniają równanie . Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

Równanie ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się

gdzie nadal są pierwiastkami równania .

Metoda Ferrariego Równanie przekształca się do

a następnie

Wprowadzamy nową niewiadomą Dodając do wyrażenia w nawiasie równania po lewej stronie można zapisać

czyli

Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:

Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem

które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

jest pełnym kwadratem i równanie zostaje zredukowane do:

Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):

Przypisy

Zobacz też równanie algebraiczne równanie kwadratowe równanie sześcienne równanie zwrotne

Bibliografia Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne” Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive

Linki zewnętrzne [dostęp 2024-03-07]. [dostęp 2025-10-31]. [dostęp 2024-03-07]. Ferrari method , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-31].

Kategoria:Równania algebraiczne