Punkt – element przestrzeni topologicznej. W zależności od rodzaju przestrzeni, jej punktami mogą być: liczby, ciągi liczbowe (skończone lub nieskończone), punkty przestrzeni euklidesowej, punkty rozmaitości topologicznej, funkcje, ideały pierwsze pierścienia przemiennego, ideały maksymalne algebr Banacha, elementy różnych struktur algebraicznych itp.
Przykłady W przestrzeni punktem jest ciąg -elementowy Na płaszczyźnie zespolonej punktami są liczby zespolone. W przestrzeni Hilberta punktami są nieskończone ciągi liczbowe dla których szereg jest zbieżny. W przestrzeni funkcyjnej punktami są funkcje. Na przykład w przestrzeni punktami są funkcje ciągłe Колмогоров, Фомин, op. cit., s. 60.. W przestrzeni sprzężonej z przestrzenią unormowaną z topologią silną (albo słabą) punktami są funkcjonały liniowe na Колмогоров, Фомин, op. cit., s. 211–212.. Punktami spektrum pierścienia przemiennego z jedynką są jego ideały pierwsze, tłum. ros. 1972, s. 22–24.. Dla przemiennej algebry Banacha zbiór jej ideałów maksymalnych można utożsamiać z podprzestrzenią topologiczną sfery jednostkowej przestrzeni sprzężonej z *-słabą topologią, tłum. ros. 1973, s. 14–15.. Zatem w tej przestrzeni punktami są ideały maksymalne algebry Banacha. Elementami grupy topologicznej są macierze ortogonalne rzędu o wyznaczniku równym 1. Macierze te mogą być interpretowane jako punkty trójwymiarowej przestrzeni rzutowej bo obie te przestrzenie są homeomorficzne.
Własności W przestrzeni T1 każdy punkt jest zbiorem domkniętym. Jeżeli przestrzeń T1 ma skończoną liczbę punktów, to każdy jej podzbiór jest zarówno domknięty, jak i otwarty. W szczególności każdy jej punkt jest domknięto-otwarty. Każdą przestrzeń lokalnie zwartą można uzwarcić dodając do niej jeden punkt a do bazy zbiorów otwartych – dopełnienia podzbiorów zwartych zbioru czyli zbiory (twierdzenie Aleksandrowa). W szczególności okrąg jednostkowy jest uzwarceniem prostej za pomocą punktu a sfera jednostkowa jest uzwarceniem płaszczyzny za pomocą punktu .
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Topologia