Trójkąt potrójnie asymptotyczny – figura utworzona z trzech prostych, z których każde dwie są równoległe do siebie w pewnym kierunku.
Konstrukcja trójkąta potrójnie asymptotycznego Można udowodnić, że: Każda para promieni nierównoległych ma jedną wspólną prostą równoległą.
Wykorzystując to twierdzenie, można skonstruować trójkąt potrójnie asymptotyczny na co najmniej dwa sposoby.
Sposób 1 Niech i będą promieniami równoległymi o początkach odpowiednio i Wtedy promienie uzupełniające i Promieniem uzupełniającym do promienia nazywamy zbiór punktów prostej leżących po przeciwnej stronie punktu niż punkt są nierównoległe, bo odległość między ich punktami rośnie. Dlatego istnieje prosta równoległa zarówno do jak i do Dlatego proste i są parami równoległe, czyli tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny. thumb|350px|Konstrukcja Gaussa trójkąta potrójnie asymptotycznego
Sposób 2 (Gaussa) Niech i będą trzema punktami płaszczyzny hiperbolicznej. Wtedy jest trójkątem (skończonym). Promienie i są parami nierównoległe, bo proste i są nierównoległe. Jeśli: prosta jest wspólną prostą równoległą do promieni i prosta jest wspólną prostą równoległą do promieni i prosta jest wspólną prostą równoległą do promieni i
to proste i tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.
Własności Każde dwa trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające. Każdy trójkąt potrójnie asymptotyczny ma pole skończone. Z twierdzenia Bolyai wynika, że wszystkie kąty trójkąta potrójnie asymptotycznego są kątami zerowymi. Z twierdzenia Gaussa wynika, że pole dowolnego trójkąta o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością defektu trójkąta
Wtedy pole każdego trójkąta potrójnie asymptotycznego jest równe
Punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt potrójnie asymptotyczny są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku
gdzie jest złotym stosunkiem
Zastosowania w grafice thumb|200px|Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych thumb|200px|Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych o grupie symetrii trójkąta równobocznego Podobnie jak trójkąty asymptotyczne i trójkąty podwójnie asymptotyczne trójkąty potrójnie asymptotyczne można wykorzystywać w grafice do tworzenia parkietaży koła.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Geometria hiperboliczna Potrójnie asymptotyczny