Siecią nazywa się układ czterech zbiorów: w których: elementy zbioru nazywa się punktami, elementy zbiorów nazywa się krzywymi (a same zbiory rodzinami krzywych), między punktami i krzywymi określona jest relacja incydencji wyrażana zwrotami: punkt leży na krzywej, krzywa przechodzi przez punkt, przez każdy punkt zbioru przechodzi dokładnie jedna krzywa każdej rodziny krzywych, dwie proste należące do różnych rodzin krzywych przecinają się w dokładnie jednym punkcie zbioru .

Sieci na płaszczyźnie Jeśli punkty są punktami płaszczyzny, a krzywe są krzywymi na płaszczyźnie, to rodziny krzywych i mogą być przekształcone przy pomocy homeomorfizmu płaszczyzny na rodziny sieci prostych równoległych do osi układu współrzędnych, czyli z dokładnością do deformacji homeomorficznej tworzą sieć współrzędnych na płaszczyźnie. Wtedy krzywe trzeciej rodziny są poziomicami pewnej funkcji Biełousow, op. cit., s. 193..

Przykłady thumb|300px|Punktami sieci regularnej są punkty płaszczyzny. Każda z prostych: i (proste zielone) generuje rodzinę prostych do niej równoległych, jedną z rodzin sieci. Związaną z tą siecią quasi-grupą jest zbiór punktów prostej różowej z odpowiednio zdefiniowanym mnożeniem. Najprostszą siecią jest sieć regularna, w której zbiór jest zbiorem punktów płaszczyzny, a rodziny prostych są zbiorami prostych równoległych do każdej z osi współrzędnych na płaszczyźnie oraz pewnej prostej pochyłej do obu osi. Sieci związane są z quasi-grupami – jednym z rodzajów algebr uniwersalnych. Każdej quasi-grupie odpowiada pewna sieć i na odwrót, każdej sieci odpowiada pewna quasi-grupa, nazywana quasi-grupą współrzędnych sieci. Mnożenie punktów i w quasi-grupie składającej się z punktów prostej różowej (na rysunku) jest zdefiniowane następująco (patrz rysunek): przez punkty i prowadzi się proste równoległe odpowiednio do prostych i które przecinają się w punkcie przez punkt prowadzi się prostą równoległą do prostej która przecina prostą różową w punkcie Punkt jest iloczynem punktów i Każdej quasi-grupie można przyporządkować pewną sieć Niech będzie quasi-grupą. Wtedy: punktami sieci są pary uporządkowane elementów zbioru rodzinami prostych są zbiory symboli dla i = 1, 2, 3, punkt należy do symboli zatem przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna prosta każdej rodziny, proste przecinają się w punkcie proste przecinają się w punkcie proste przecinają się w punkcie Kurosz, op. cit., s. 40.. Wtedy quasi-grupa jest quasi-grupą współrzędnych sieci

Przypisy

Kategoria:Geometria Kategoria:Algebra niełączna