Szereg 1 − 2 + 4 − 8 + … – szereg naprzemienny, którego wyrazami są kolejne potęgi liczby 2 z naprzemiennym znakiem. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy −2
Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje. W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona suma uogólniona
Historia Gottfried Leibniz rozważał naprzemienny rozbieżny szereg już w 1673 roku. Twierdził, że od kolejności wykonywanych działań zależy ostateczny wynik, który wynosi +∞ lub −∞, wobec czego oba wyniki są błędne a całość powinna być skończona.
Nie dość tego, twierdząc, że szereg ma sumę, to ponadto wywnioskował związek z wartością stosując metodę MerkatoraLeibniz, s. 205–207; Knobloch, s. 124–125..
Matematyka współczesna Szeregi geometryczne Dowolna metoda sumacyjna posiadająca właściwości regularności, liniowości i stabilności sumuje szeregi geometryczne
W tym przypadku a więc suma równa się
Sumowanie Eulera mały|300px|Fragment z Institutiones
Leonhard Euler, w swojej pracy Institutiones z 1755 roku, zastosował sposób nazywany obecnie transformacją Eulera, w celu przyspieszenia zbieżności szeregów naprzemiennych
Korzystając z tej metody, Euler twierdził, że suma szeregu wynosi Euler, s. 234.. Nie jest to podejście współczesne – obecnie o takiej metodzie można powiedzieć, że zadany szereg jest sumowalny metodą Eulera lub że jego suma eulerowska wynosi Korevaar, s. 325..
Transformację Eulera rozpoczyna ciąg dodatnich składników:
Skąd uzyskujemy ciąg różnic w przód:
Ciąg ten okazuje się być identyczny jak ciąg początkowy. Stąd iterując kolejne wartości różnic w przód otrzymujemy
dla każdego n. Transformacją Eulera jest szereg
Jest to zbieżny szereg geometryczny, którego suma obliczona w standardowy sposób wynosi
Sumowanie Borela Sumowanie metodą Borela szeregu także zwraca wynik Kiedy Émile Borel przedstawiał wzory na obliczanie skończonych sum szeregów naprzemiennych w 1896 roku, zastosował ten szereg jako jeden z przykładów obok 1 − 1 + 1 − 1 +…Smail, s. 7..
Zobacz też szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Szeregi geometryczne liczb rzeczywistych Kategoria:Szeregi rozbieżne