thumb|Ilustracja Archimedesa dla a = 3/4 Szereg 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … – nieskończony zbieżny szereg geometryczny. Jest on jednym z pierwszych zsumowanych szeregów nieskończonych w historii matematyki. Dokonał tego Archimedes około 250-200 roku p.n.e. Jego suma to Uogólniając, dla dowolnego a, szereg utworzony z wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie jest zbieżny do sumy:

Prezentacja graficzna mały|3s = 1 mały|3s = 1 ponownie

Szereg 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … nadaje się do prostej wizualizacji ponieważ kwadrat i trójkąt łatwo podzielić na cztery podobne części, których pole to oryginału.

Na ilustracji po lewej, jeśli duży kwadrat ma pole 1, to największy czarny kwadrat ma pole (1/2)(1/2)=(1/4). Podobnie, kolejny czarny kwadrat ma pole 1/16, a trzeci to 1/64. Stąd pole wszystkich czarnych kwadratów wynosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +…, które jest takie samo jak pole kwadratów szarych i białych. Ponieważ te trzy obszary obejmują cały kwadrat jednostkowy, to ilustracja prezentuje, że:

Archimedes zastosował nieco inną formę graficznego dowodu, zaprezentowaną powyżej, którą można opisać równaniem:

Interpretacja Archimedesa jest przedstawiona poniżej.

Taką samą technikę geometryczną można zastosować w trójkątach, co jest pokazane na ilustracji po prawej. Jeśli duży trójkąt ma pole 1, to największy czarny trójkąt ma pole 1/4 itd. Ilustracja zawiera samopodobieństwo pomiędzy dużym trójkątem a górnym ćwierć-trójkątem. Podobną konstrukcję, w której trzy rogi są do siebie podobne przedstawia trójkąt Sierpińskiego.

Archimedes thumb|250px|Krzywa jest parabolą. Punkty na cięciwie AE są rozmieszczone w równych odstępach. Archimedes wykazał, że suma pól trójkątów ABC i CDE to 1/4 pola trójkąta ACE. Następnie skonstruował kolejną warstwę czterech trójkątów powyżej pozostałych, których suma pól wyniosła 1/4 sumy pól trójkątów ABC i CDE. Pole kolejnej ósemki trójkątów miało pole 1/4 sumy pól poprzednich czterech itd. Wysunął więc wniosek, że pole pomiędzy cięciwą a krzywą wynosi 4/3 pola trójkąta ACE.

Archimedes uzyskał ten szereg w swojej pracy Kwadratura paraboli. Podczas wyznaczania pola ograniczonego parabolą za pomocą metody wyczerpywania uzyskał szereg trójkątów; na każdym etapie konstrukcji przyrost pola wynosił 1/4 wartości z poprzedniego etapu. Jego oczekiwany wynik całkowitej powierzchni to 4/3 powierzchni uzyskanej w pierwszym etapie. Aby to osiągnąć zdefiniował następujący lemat algebraiczny:

Twierdzenie 23. Mając dany szereg powierzchni A, B, C, …, Z, z których A jest największa i każda z nich jest cztery razy większa niż następna w kolejności to

Archimedes udowodnił to twierdzenie wstępnie, obliczając

Z drugiej strony

Odejmując to równanie od poprzedniego, otrzymujemy

i dodając do obu stron, uzyskujemy oczekiwany wynik.

Obecnie, bardziej standardowym wyrażeniem na twierdzenie Archimedesa jest to, że sumy częściowe szeregu 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … wynoszą:

Ta forma może być udowodniona przez pomnożenie obu stron przez 1 – 1/4 i zauważeniu, że wszystkie składniki, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego, po lewej stronie równania się parami znoszą. Taka sama technika ma zastosowanie dla skończonych szeregów geometrycznych.

Granica W twierdzeniu 24 Archimedes stosuje skończoną (ale nieokreśloną) sumę z twierdzenia 23 dla pola wewnątrz paraboli przez podwójny dowód nie wprost. Archimedes nie do końca obliczył granicę powyższej sumy częściowej, lecz stosując współczesne metody rachunkowe, jest to dość prosty krok:

Ponieważ suma nieskończonego szeregu jest zdefiniowana przez granicę jego sum częściowych

Uwagi

Przypisy

Bibliografia Źródła starożytne ; obrazy stron wydania z 1897 na stronie: ; HTML z ilustracjami i komentarzem na stronie:

Źródła współczesne

Kategoria:Szeregi geometryczne liczb rzeczywistych Kategoria:Archimedes