Podprzestrzeń komplementarna – domknięta podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa iż
tj. oraz Rozkład przestrzeni na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni nazywany jest czasami topologiczną sumą prostą. Ponadto podprzestrzeń przestrzeni liniowo-topologicznej jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy jest obrazem pewnego ciągłego operatora liniowego spełniającego warunek (operatory idempotentne nazywane są rzutami). Czasami w geometrycznych rozważaniach dotyczących podprzestrzeni komplementarnych przestrzeni Banacha ważna jest norma rzutu na daną podprzestrzeń. Niech oraz będzie przestrzenią Banacha. Mówi się, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni jest -komplementarna, gdy istnieje rzut o normie
Przykłady Każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest komplementarna. Wynika stąd, że każda podprzestrzeń kowymiaru skończonego w danej przestrzeni unormowanej jest także komplementarna. Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest komplementarna; co więcej, istnieje rzut ortogonalny, którego jest ona obrazem – mówi o tym twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przestrzeń Banacha, której każda domknięta podprzestrzeń jest komplementarna jest izomorficzna z przestrzenią HilbertaJ. Lindenstrauss, L. Tzafriri. On the complemented subspaces problem. „Israel J. Math.”, 19 (1971), s. 263–269.. Twierdzenie Sobczyka mówi, że jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Banacha oraz jest jej podprzestrzenią izomorficzną z przestrzenią c0, to jest 2-komplementarna w Stałej 2 nie można poprawić. Phillips i Sobczyk pokazali niezależnieR.S. Phillips, On linear transformations, „Transactions of the American Mathematical Society”, 48 (1940), s. 516–541.A. Sobczyk, Projection of the space (m) on its subspace c0, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 47 (1941), s. 938–947., że żadna podprzestrzeń przestrzeni izomorficzna z nie jest komplementarna. W przestrzeniach ℓp dla istnieją podprzestrzenie izomorficzne z które nie są komplementarneJ. Bourgain, A counterexample to a complementation problem, „Compositio Math”. 43 (1981), s. 133–144.H.P. Rosenthal. On the subspaces of Lp (p > 2) spanned by sequences of independent random variables. „Israel J. Math.” 8 (1970), s. 273–303.G. Bennett, L.E. Dor, V. Goodman, W.B. Johnson, C.M. Newman, On uncomplemented subspaces of Lp, 1 < p < 2, „Israel. Math.” 26 (2) (1977), s. 178–187.. Podprzestrzeń komplementarna przestrzeni z bazą Schaudera nie musi mieć bazy SchauderaS.J. Szarek, A Banach space without a basis which has the bounded approximation property. „Acta Math.” 159 (1987), s. 81–98.. W przestrzeni Banacha funkcji ciągłych na liczbie porządkowej istnieje podprzestrzeń izomorficzna z która nie jest komplementarna. Można stąd wyprowadzić podobny fakt dla przestrzeni typu gdzie jest zwartą przestrzenią metryczną o tej własności, że nie jest izomorficzne z (w tym wypadku zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z ).
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie Banacha Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne