Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.
Dowód Niech będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej w przestrzeń metryczną Ustalmy
Z ciągłości dla każdego istnieje liczba taka, że dla każdego z kuli
Na mocy zwartości z pokrycia można wybrać podpokrycie skończone
Niech Wówczas na mocy nierówności trójkąta dla dowolnych takich, że istnieje punkt taki, że ponadto:
To dowodzi, że jest jednostajnie ciągła.
Historia Według opracowania Rusnocka i Kerra-Lawsona, Heine opublikował pierwszą definicję jednostajnej ciągłości (1870) i dowód twierdzenia (1872), nie przypisując sobie oryginalności. Zbliżone konstrukcje występowały implicite już wcześniej, m.in. u Bolzana i Dirichleta. Koncepcje Heinego rozwijały się w tym obszarze w tandemie ze współczesnymi im publikacjami Cantora.
Przypisy
Linki zewnętrzne Inne dowody:
Dowody na ProofWiki
Heinego-Cantora Kategoria:Geometria metryczna