Twierdzenie Milmana-Pettisa – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że jednostajnie wypukłe przestrzenie Banacha są refleksywne. Twierdzenie zostało udowodnione niezależnie przez MilmanaD. Milman, On some criteria for the regularity of spaces of type (B), „C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S.”, 20 (1938), s. 243–246. i PettisaB.J. Pettis, A proof that every uniformly convex space is reflexive, „Duke Math. J.” 5 (1939), s. 249–253.. Inne dowody podali także KakutaniS. Kakutani, Weak topologies and regularity of Banach spaces, „Proc. Imp. Acad. Tokyo” 15 (1939), s. 169–173. oraz RingroseJ.R. Ringrose, A note on uniformly convex spaces, „J. London Math. Soc.” 34 (1959), s. 92..
Dowód Ringrose’a Niech będzie jednostajnie wypukłą przestrzenią Banacha włożoną w sposób kanoniczny w drugą przestrzeń sprzężoną Niech będzie elementem o normie 1. Refleksywność przestrzeni oznacza, że należy do co należy wykazać.
Ponieważ kula jednostkowa przestrzeni jest domknięta w wystarczy wykazać, że dla każdego istnieje taki element że Dla niech
Ponieważ istnieje takie o normie 1, że
Niech
Wówczas jest zbiorem otwartym w sensie *-słabej topologii w Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że istnieje który należy do zbioru Wystarczy zatem wykazać, że Gdyby tak nie było, to zbiór
byłby *-słabo otwarty oraz byłby jego elementem. Z twierdzenia Goldstine’a wynikałoby, że
Niech zatem będzie dowolnym elementem tego zbioru. Z określenia Z jednostajnej wypukłości wynika zatem, że
Jednak w szczególności a zatem
Wynika stąd, że
W konsekwnecji,
Ostatecznie
co prowadzi do sprzeczności z jednostajną wypukłością .
Przypisy
Bibliografia
Milmana-Pettisa