Twierdzenie Hilberta o zerach (znane też pod nazwą: Nullstellensatz) – udowodnione przez Davida Hilberta (1862–1943), twierdzenie w algebrze, stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej.
Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.
Sformułowanie W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają wersje zwane słabym twierdzeniem o zerach oraz silnym twierdzeniem o zerach.
Słabe twierdzenie Hilberta o zerach
Niech będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas dowolny ideał maksymalny jest postaci:
dla pewnych .
Silne twierdzenie Hilberta o zerach
Niech będzie ciałem. Dla dowolnego ideału przez oznaczamy:
Natomiast dla dowolnej rozmaitości algebraicznej przez oznaczamy:
Jeżeli ciało jest algebraicznie domknięte, to wówczas dla dowolnego ideału zachodzi:
gdzie oznacza radykał ideału.
Związek pomiędzy algebrą a geometrią Obydwa twierdzenia o zerach są fundamentalnymi twierdzeniami stanowiącymi podstawę dla geometrii algebraicznej.
Słaba wersja twierdzenia o zerach zazwyczaj używana jest jako gwarancja istnienia obiektów geometrycznych zadanych ideałami (ew. układami równań).
Mocne twierdzenie o zerach wyraża ten związek w znacznie bardziej konkretny sposób, wiążąc rozmaitości afiniczne z ideałami radykalnymi.
Istnienie rozwiązań układów równań Ze słabego twierdzenia o zerach można wywnioskować, że każdy niesprzeczny układ równań wielomianowych :
o współczynnikach z ciała algebraicznie domkniętego, ma w tym właśnie ciele pewne rozwiązanie, ponieważ niesprzeczność oznacza dokładnie tyle, że: ideał nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym , który na mocy słabego twierdzenia o zerach jest postaci:
dla pewnych . Ze względu na to, że wielomiany należą do ideału , otrzymujemy, że:
dla pewnych , a wtedy oczywiście , co oznacza, że punkt jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów .
Ze względu na ten fakt słabe twierdzenie Hilberta o zerach gwarantuje istnienie obiektów geometrycznych opisanych przez niesprzeczne układy równań.
Bijekcja między rozmaitościami a ideałami radykalnymi Jeżeli przyjmiemy, że ideał jest ideałem radykalnym, czyli: , to zależność w silnym twierdzeniu o zerach przyjmuje postać: . W ogólności, nawet bez założenia algebraicznej domkniętości ciała, dla rozmaitości algebraicznej zachodzi: . To oznacza, że oraz są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy zbiorami ideałów radykalnych w pierścieniu a rozmaitościami algebraicznymi w przestrzeni afinicznej .
Wynika z tego, że dowolnej rozmaitości afinicznej nad ciałem algebraicznie domkniętym odpowiada dokładnie jeden ideał radykalny w pierścieniu wielomianów; odwrotna zależność też jest prawdziwa. Warto zauważyć, że jest to bijekcja odwracająca porządek (w sensie inkluzji zbiorów) – większym ideałom przypisane są mniejsze rozmaitości.
Zobacz też twierdzenie Hilberta o bazie
Bibliografia
Kategoria:Geometria algebraiczna Kategoria:Twierdzenia geometrii