Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a (ang. generalized Laguerre polynomials, associated Laguerre polynomials) – wielomiany ortogonalne zdefiniowane w sposób:
Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a stanowią rozwiązanie następującego równania różniczkowego II rzędu zwanego stowarzyszonym równaniem Laguerre’a:
Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są uogólnieniem ‘zwykłych’ wielomianów Laguerre’a które stanowią szczególny przypadek wielomianów stowarzyszonych dla
Początkowe stowarzyszone wielomiany Laguerre’a
Własności stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a Dla naturalnych pierwszy wyraz wielomianu ma współczynnik:
a wartość wielomianu w punkcie 0 wynosi:
Stowarzyszony wielomian Laguerre’a posiada pierwiastków rzeczywistych zawartych w przedziałach
Wzory rekurencyjne Wzory te pozwalają na wyznaczanie wielomianów wyższego rzędu korzystając z wielomianów niższego rzędu lub wielomianów o wyższych górnych wskaźnikach, korzystając z wielomianów o niższych górnych wskaźnikach:
Pochodne stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a Podstawowy wzór na pochodną rzędu stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:
W szczególności dla pierwszej pochodnej stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a mamy:
Wzór na pochodną rzędu iloczyn funkcji potęgowej i stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:
W szczególności dla pierwszej pochodnej mamy:
Pochodna stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a względem parametru
Ortogonalność stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są ortogonalne w przedziale z funkcją wagową
W szczególności dla mamy:
Zastosowania Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a pojawiają się w rozwiązaniach równania Helmholza w sferycznym układzie współrzędnych. Występują też w rozwiązaniu równania Schrödingera dla modelu atomu wodoru.
Bibliografia Bayin S.S.: Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, (2006). Spain B., Smith M.G.: Functions of Mathematical Physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, (1970). Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-13].
Kategoria:Funkcje specjalne Kategoria:Wielomiany ortogonalne