Grupa okręgu – podgrupa grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;
W grupie jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.
Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiednio, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).
Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z dwuwymiarowym torusem (2-torusem oznaczanym ), a zatem okrąg może być interpretowany jako jednowymiarowy torus, skąd pochodzi oznaczenie
Własności thumb|Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module Grupa okręgu jest przemienna, ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne. Grupa okręgu jest podzielna (iniektywna). Grupa okręgu ma naturalną strukturę grupy topologicznej z topologią indukowaną z płaszczyzny zespolonej. Ponieważ okrąg jednostkowy jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, że grupa okręgu jest zwarta. Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową Dowód. Odwzorowanie dane wzorem jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest Podgrupa grupy jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie dane wzorem gdzie jest homeomorficznym izomorfizmem grup.. Grupa okręgu jest grupą Liego, której przestrzeń styczna w 1 może być utożsamiana z prostą urojoną płaszczyzny. Odwzorowanie wykładnicze dla tej grupy Liego dane jest wzorem
przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.
Grupa okręgu a grupa liczb całkowitych Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do złożona z ciągłych homomorfizmów do jest dyskretna. Co więcej
a zatem z dualności Pontriagina także
Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów analizy harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci
dla pewnej liczby rzeczywistej Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci dla pewnego W szczególności, grupa dualna do jest izomorficzna z Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z do
Niech będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech będzie jego podniesieniem do tj. Wówczas dla pewnego W szczególności, gdy to a więc musi być liczbą całkowitą..
Uwagi
Bibliografia N. Bourbaki, Elements of mathematics. General topology, Part 2, Hermann, Paris 1966.
Kategoria:Okręgi (geometria) Kategoria:Rodzaje liczb zespolonych Kategoria:Grupy topologiczne Kategoria:Analiza harmoniczna