mały|Obszary definicji współrzędnych Fatou dla funkcji
Współrzędne Fatou – przekształcenie płaszczyzny zespolonej ułatwiające badanie dynamiki kiełków funkcji holomorficznych w otoczeniu parabolicznego punktu stałego. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Pierre’a Fatou.
Definicja formalna mały|Odpychające kwiaty wokół punktu stałego i jego przeciwobrazów. Współrzędne Fatou są zdefiniowane wewnątrz płatków wokół parabolicznego punktu stałego Prosty kiełek paraboliczny w zerze ma postać
gdzie: O oznacza notację dużego O, zero oznacza punkt w=0, czyli biegun w układzie współrzędnych biegunowych, który jest parabolicznym punktem stałym funkcji F(w).
Można zmienić współrzędne w taki sposób, aby:
punkt stały przenieść z zera do nieskończoności (punkt sfery Riemanna).
Po zmianie współrzędnych kiełek funkcji
ma postać
Istnieją takie stałe
takie że w sektorach
i
istnieją rozwiązania analityczne równania funkcyjnego Abela
z asymptotami w nieskończoności
Te rozwiązania nazywane są współrzędnymi FatouArtem Dudko, Dynamics of holomorphi maps: Resurgence of Fatou coordinates and Poly-time computability of Julia sets, University of Toronto, 2012..
Zastosowanie thumb|orbity punktów w otoczeniu parabolicznego punktu stałego mały|Leniwa dynamika: punkt krytyczny potrzebuje około 100 000 iteracji aby zbliżyć się do punktu stałego Współrzędne Fatou umożliwiają pełny opis lokalny dynamikiF. Przytycki, J. Skrzypczak: Wstęp do teorii iteracji funkcji wymiernych na sferze Riemanna. Preprint IMPAN, 1993. w otoczeniu parabolicznego punktu stałego.
Orbity punktów w otoczeniu parabolicznego są złożone z dwóch przekształceń: rotacji wokół punktu stałego, początkowego oddalaniu się, a potem przybliżaniu do punktu stałego.
Potrzeba bardzo dużej liczby iteracji aby sprawdzić, czy punkt w: ucieka do nieskończoności, czyli leży na zewnątrz od zbioru Julii, dąży do punktu stałego, czyli jest wewnątrz zbioru Julii.
Dynamika w otoczeniu parabolicznego punktu stałego jest więc: złożona, leniwa (powolna)
i z tych powodów jej ocena jest trudna.
Orbity w okolicy parabolicznego punktu stałego zachowują się jak orbity funkcji w okolicy punktu stałego w nieskończoności (punkt sfery Riemanna).
Łatwiej analizować zachowanie funkcji niż ON THE DERIVATIVE OF THE HAUSDORFF DIMENSION OF THE QUADRATIC JULIA SETS LUDWIK JAKSZTAS..
Przypisy
Kategoria:Układy współrzędnych Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Teoria układów dynamicznych