thumb|450px|Konstrukcja sprzężenia izotomicznego punktu trójkąta Na niebiesko zaznaczono proste przechodzące przez wierzchołki oraz punkt Punkty są punktami przecięcia tych prostych z odpowiednimi bokami. Punkty są środkami boków. Punkty są równoodległe od punktów co punkty Na czerwono zaznaczono proste izotomiczne do prostych niebieskich oraz wspólny punkt ich przecięcia – sprzężenie izotomiczne punktu Sprzężenie izotomiczne punktu w trójkącie to inny punkt, określony jednoznacznie poprzez trójkąt oraz położenie punktu wyjściowego punktu.

Definicja i nomenklatura Niech dany będzie trójkąt oraz punkt wewnątrz niego. Poprowadźmy półproste wychodzące z wierzchołków trójkąta, przecinające przeciwległe boki (tzw. czewiany) i przechodzące poprzez punkt Oznaczmy poprzez ich przecięcie z odpowiednimi bokami trójkąta. Odbijmy każdy z punktów poprzez środki odpowiednich boków trójkąta i oznaczmy obrazy tych punktów poprzez Poprowadźmy teraz proste Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy, proste te również przetną się w jednym punkcie (jako że długości odcinków na które punkty oraz dzielą boki są takie same). Punkt ten nazywamy sprzężeniem izotomicznym punktu .

Ponadto, proste nazywane są prostymi izotomicznymi do prostych a punkty punktami izotomicznymi do punktów .

Współrzędne Jeśli oznaczmy długości boków trójkąta poprzez a współrzędne trójliniowe punktu poprzez to współrzędne sprzężenia izotomicznego punktu wynoszą

Punkty o współrzędnych barycentrycznych oraz są sprzężone izotomicznie, gdy zachodzi

Własności Z definicji, jeśli jest sprzężeniem izotomicznym punktu to sprzężeniem punktu będzie sam punkt

Sprzężeniem izotomicznym centroidu trójkąta (przecięcia wszystkich środkowych) jest z definicji sam centroid.

Poniższe pary punktów są względem siebie sprzężone izotomicznie: punktu Nagela oraz punkt Gergonne'a, trzeci punkt Brocarda i punkt przecięcia symedian (zwany punktem Lemoine’a), ortocentrum trójkąta i punkt przecięcia symedian jego trójkąta antydopełniającego.

Zobacz też sprzężenie izogonalne

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Kategoria:Geometria euklidesowa Kategoria:Trójkąty