Twierdzenie Krejna–Krasnoselskiego–Milmana – twierdzenie będące wersją twierdzenia o zbiorze wypukłym dla skończenie wymiarowych przestrzeni Banacha, udowodnione w 1948 roku przez Krejna, Krasnoselskiego i MilmanaM. Kreĭn, M. Krasnoselski, D. Milman: On defect numbers of operators on Banach spaces and related geometric problems. Trudy Inst. Mat. Akad. Nauk Ukrain. SSR, 1948, 11, s. 97–112.. Bywa stosowane w teorii perturbacji nieograniczonych operatorów liniowych.
Twierdzenie Niech E będzie skończenie wymiarową przestrzenią Banacha oraz niech M i N będą jej podprzestrzeniami liniowymi. Jeżeli wymiar M jest większy od wymiaru N, to istnieje taki wektor x0 ∈ M, że inf { || x – x0 ||: x ∈ N } = ||x0|| > 0.
Dowód Udowodnimy twierdzenie najpierw pod dodatkowym założeniem, że norma przestrzeni E jest ściśle wypukła, tj. ||x+y|| < ||x|| + ||y||, gdy tylko x, y są liniowo niezależne. Wówczas dla każdego x ∈ E istnieje dokładnie jeden taki punkt y = f(x) w N, że inf { || x – z ||: z ∈ N } = || x – f(x) ||. Odwzorowanie x → f(x) jest ciągłe. Ponadto f(–x) = –f(x) dla wszelkich x ∈ E. Stosując twierdzenie Borsuka-Ulama do funkcji f|SM: SM → N wnioskujemy, że istnieje taki punkt x0 ∈ M, że f(x0) = 0. Jest to zatem szukany punkt.
Gdy E nie jest ściśle wypukła, ustalmy bazę {φ1, ..., φn} w E*. Wówczas dla każdego m
jest ściśle wypukłą normą w E. Oznacza to, że dla każdego m istnieje takie xm ∈ M, że
inf { || x – z ||m: z ∈ N } = || xm ||m = 1.
Ponieważ ||xm|| ≤ ||xm|| m = 1, ciąg (xm) ma podciąg zbieżny (w oryginalnej normie na E). Granica tego podciągu jest szukanym punktem x0.
Przypisy
Bibliografia J. Dugundji, A. Granas, Fixed Point Theory, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1982, s. 79–80. Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977, s. 77–78. J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, s. 6–7, .
Krejna-Krasnoselskiego-Milmana