Własność Schura – w analizie funkcjonalnej, przestrzeń Banacha X ma własność Schura, gdy każdy ciąg elementów przestrzeni X zbieżny w słabej topologii (słabo) jest zbieżny w topologii normy (mocno). Nazwa własności pochodzi od Issai Schura, który opublikował w 1921 dowód twierdzenia mówiącego, że przestrzeń ℓ1 ma tę własnośćI. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151 (1920), 79-111. (zob. dowód).

Własności Każda przestrzeń o własności Schura jest słabo ciągowo zupełna. Istotnie, niech będzie słabym ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, która ma własność Schura. Dla każdych dwóch ściśle rosnących ciągów liczb naturalnych ciąg

jest słabo zbieżny do 0. Własność Schura implikuje, że

Oznacza to, że ciąg jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, a więc jest on zbieżny. Każda domknięta i nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń liniowa przestrzeni o własności Schura ma również własność Schura oraz zawiera izomorficzną kopię przestrzeni ℓ1. Niech X będzie przestrzenią Banacha o własności własność Dunforda-Pettisa, która nie zawiera izomorficznych kopii przestrzeni ℓ1. Wówczas przestrzeń sprzężona X* ma własność Schura.

Związek z przestrzenią ℓ1 Prototypicznym przykładem przestrzeni mającej własność Schura jest przestrzeń ℓ1. Każda domknięta podrzestrzeń przestrzeni ℓ1 ma własność Schura, jednak nie każda (ośrodkowa) przestrzeń o własności Schura zanurza się izomorficznie w ℓ1. Stosowny przykład podprzestrzeni przestrzeni przestrzeni L1 o własności Schura, która nie zanurza się w ℓ1 podali Jean Bourgain oraz Haskell RosenthalJ. Bourgain, H. P. Rosenthal, Martingales valued in certain subspaces of L1, Isr. J. Math. 37 (1-2) (1980), 54–75.. Bourgain podał przykład przestrzeni Banacha, której każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń zawiera izomorficzną kopię przestrzeni ℓ1, która mimo to nie ma własności SchuraJ. Bourgain, ℓ1-subspaces of Banach spaces. Lecture notes. Free University of Brussels. (inne przykłady pochodzą od Azimiego i HagleraP. Azimi, J. N. Hagler, Examples of hereditarily ℓ1 Banach spaces failing the Schur property, Pacif. J. Math. 122 (2)(1986), 287–297. oraz PopowaM. M. Popov, A hereditary ℓ1-subspace of L1 without the Schur property, Proc. Amer. Math. Soc. 133, 7 (2005), 2023–2028..

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Przestrzenie Banacha