thumb|350px|Trzy możliwe przypadki: 1) Brak przecięcia, 2) Przecięcie w jednym punkcie, 3) Przecięcie w dwóch punktach. W geometrii analitycznej prosta i sfera mogą mieć część wspólną w dokładnie jednym punkcie, dwóch punktach bądź wcale. Metody rozróżniania tych przypadków i ustalania punktów przecięcia są używane jako algorytm wykonywany wielokrotnie podczas operacji śledzenia promieni.
Obliczanie z użyciem wektorów W zapisie wektorowym równania wyglądają w następujący sposób:
Równanie sfery:
gdzie: – środek, – promień, – punkty na sferze.
Równanie prostej zaczynającej się w
gdzie: – parametr odległości wzdłuż prostej od punktu początkowego, – kierunek prostej (wektor jednostkowy), – punkt początkowy, – punkty na prostej.
Szukając punktów wspólnych, należy połączyć ze sobą równania i rozwiązać dla
Równania po podstawieniu
Rozszerzając
Po przestawieniu
Otrzymuje się równanie kwadratowe
gdzie:
Upraszczając
jest wektorem jednostkowym, a W związku z tym równanie można uprościć do
Jeśli wartość pod pierwiastkiem jest mniejsza niż zero, rozwiązanie nie istnieje i prosta nie przecina sfery (przypadek 1). Jeśli jest to zero, istnieje jedno rozwiązanie i prosta przecina sferę w jednym punkcie (przypadek 2). Jeśli jest większa niż zero, istnieją dwa rozwiązania i prosta przecina sferę w dwóch punktach (przypadek 3).
Zobacz też geometria analityczna
Bibliografia David H. Eberly (2006), 3D game engine design: a practical approach to real-time computer graphics, 2nd edition, Morgan Kaufmann. .
Kategoria:Geometria analityczna