Pochodna funkcji
Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:
Jeżli założymy, że jest równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji f, to wartość pochodnej interpretujemy jako współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie . Możemy zatem zapisać:
, gdzie to kąt zawarty pomiędzy styczną do wykresu funkcji a półosią x.
W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.
Pochodna sumy funkcji
Przykład
Pochodna iloczynu funkcji
Jeżeli liczymy pochodną iloczynu trzech i więcej funkcji, powyższe twierdzenie należy zastosować iteracyjnie, tzn.
iloczyn wielu funkcji traktujemy jako iloczyn dwu prostszych funkcji. Następnie korzystamy ze znanego wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji.
Powyższy krok powtarzamy tak długo, aż pod znakiem pochodnej nie będzie więcej niż dwie funkcje.
Ostatecznie otrzymujemy długi, aczkolwiek prosty w wykorzystaniu wzór końcowy:
Pochodna ilorazu funkcji
Przykład
Pochodna funkcji złożonej
Pochodne funkcji elementarnych {| style="text-align: center; width: 75%; margin: 0 auto; border-collapse: collapse" border="1" cellpadding="4" cellspacing="1" |-style="background: #AABBCC;" !width="40%"|Funkcja !width="30%"|Pochodna !width="30%"|Uwagi
|- align=center
Pochodna cząstkowa funkcji Ekstremum funkcji
Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie równa 0 i zmienia tam znak, to funkcja w tym punkcie posiada ekstremum.
Jeśli pierwsza pochodna w punkcie z prawej strony jest ujemna (a z lewej strony dodatnia), to w punkcie ma maksimum lokalne. Jeśli pierwsza pochodna w punkcie z prawej strony jest dodatnia (a z lewej strony ujemna), to w punkcie ma minimum lokalne.
Jeśli druga pochodna w pukcie zmienia znak, to w punkcie ma punkt przegięcia.
Ekstremum funkcji wielu zmiennych 3xy+2x+1
Rotacja i dywergencja