Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Wartość bezwzględna liczby

= Wartość bezwzględna liczby =

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

Własności

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

Interpretacja geometryczna

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują): gdzie oba wyrażenia są ujemne gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne gdzie oba wyrażenia są nieujemne

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale równanie nie ma rozwiązań.

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale każda liczba spełnia równanie.

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

Przykład 3.

Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

W tym przedziale nie ma rozwiązań.

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując:

To samo można zapisać w postaci:

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:

wykorzystując własność , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a'' liczbę 10 otrzymujemy:

Odp. .