= Przekształcanie wykresów funkcji =

Do podstawowych przekształceń wykresu funkcji y = f(x) zaliczamy: symetrię względem osi X - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(x) symetrię względem osi Y - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(-x) symetrię względem początku układu współrzędnych - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(-x) translacja (przesunięcie) o wektor - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(x - a) + b nałożenie wartości bezwzględnej zmiana skali

Symetria względem osi X

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi X, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi X, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x i y'=-y=-f(x)=-f(x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi X będzie miał wzór y=-f(x).

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=3x+5 w symetrii względem osi X. y=-f(x)=-(3x+5)= -3x-5.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2log3(x+2) w symetrii względem osi X. y=-f(x)=-(2log3(x+2))=-2log3(x+2).

Symetria względem osi Y

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi Y, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=y=f(x)=f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi Y będzie miał wzór y=f(-x).

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=3x+5 po przekształceniu przez symetrię względem osi OY. y=f(-x)=3(-x)+5= -3x+5

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2log3(x+2) po przekształceniu przez symetrię względem osi OY. y=f(-x)=2log3(-x+2)

Symetria względem środka układu współrzędnych

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=-y=-f(x')=-f(-x), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem środka układu współrzędnych będzie miał wzór y=-f(-x).

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)= -x3 po przekształceniu przez symetrię środkową względem środka układu współrzędnych- So. y=-f(-x)=-(-(-x)3)=-x3.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2xpo przekształceniu przez symetrię środkową względem środka układu współrzędnych - So. y=-f(-x)=-2(-x)=-2-x=- .

Translacja

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez translację o wektor to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x+a a y'=y+b. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez translację o wektor , to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x+a i y'=y+b=f(x)+b=f(x'-a)+b, Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez translację o wektor będzie miał wzór y=f(x-a)+b.

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=2x2 po przekształceniu przez translację o wektor . y=f(x-a)+b= 2(x-3)2-2.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=log(x+2)-3 po przekształceniu przez translację o wektor . y=f(x-a)+b=log(x+3+2)+5-3=log(x+5)+2.

Nałożenie wartości bezwzględnej

Wykres funkcji tworzymy poprzez usunięcie funkcji po lewej stronie osi OY i symetryczne odbicie prawej strony względem tej osi.

Wykres funkcji tworzymy poprzez przełożenie części funkcji znajdującej się pod osią OX nad nią.