Dany jest szereg :
Zadanie: obliczyć jego promień zbieżności, wyznaczyć zbiór zbieżności, obliczyć sumę szeregu
Jest to specyficzny szereg potęgowy, w którym współczynniki przy nieparzystych potęgach są równe zeru. Aby uprościć obliczenia wprowadzimy podstawienie:
Wówczas nasz szereg potęgowy przyjmie postać:
Promień zbieżności Promień zbieżności szeregu potęgowego obliczymy ze wzoru
, gdzie
Zatem szukany promień zbieżności szeregu uproszczonego ma wartość .
Przedział (zbiór) zbieżności
Dla szeregu uproszczonego mamy zatem:
tzn.
Korzystając z zastosowanego wcześniej podstawienia otrzymamy:
Nie wiemy jednak, co dzieje się na końcach przedziału zbieżności. Aby to sprawdzić, podstawiamy wartości na końcach przedziałów do danego wzoru na szereg. W wyniku tego otrzymamy dwa szeregi liczbowe, których zbieżność należy zbadać. Jeżeli dany szereg liczbowy będzie zbieżny, to odpowiadający mu koniec możemy włączyć do zbioru (przedziału) zbieżności. W przeciwnym wypadku nie wolno nam tego zrobić.
Lewy koniec
Zatem dla otrzymamy szereg liczbowy:
Prawy koniec
Dla otrzymamy szereg liczbowy:
Suma szeregu