W sezonie 2013/2014 Barkom Lwów zadebiutował w najwyższej klasie rozgrywkowej – Superlidze, kończąc zmagania na ćwierćfinale fazy play-off (przegrał rywalizację z klubem Faworyt Łubnie). Od sezonu 2014/2015 klub występuje pod nazwą Barkom-Każany. W tym sezonie w klasyfikacji końcowej Superligi zajął 5. miejsce, w kolejnym natomiast – 4. miejsce (w walce o brązowy medal uległ klubowi Jurydyczna akademіja Charków).
W sezonie 2016/2017 Barkom-Każany zdobył wicemistrzostwo Ukrainy, Puchar Ukrainy oraz Superpuchar Ukrainy. Zadebiutował również w europejskich pucharach – w Pucharze CEV w 1/32 finału przegrał dwumecz z serbskim klubem Vojvodina Nowy Sad.
W sezonie 2017/2018 zdobył pierwsze mistrzostwo Ukrainy oraz drugi Puchar Ukrainy. W europejskich pucharach doszedł do 1/16 finału Pucharu CEV, gdzie po raz kolejny przegrał rywalizację z serbskim klubem Vojvodina NS seme Nowy Sad.
1 listopada 2022 w Krakowie drużyna wygrała z PGE Skrą Bełchatów 3:2, zdobywszy pierwsze zwycięstwo w PlusLidzeSensacja w PlusLidze!