Tensor metryczny Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym gdzie lub (ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).
Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólności współrzędnych krzywoliniowych), tj.:
Tensor ten ma więc elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.
Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy czyli:
Współrzędne tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych lokalnego układu współrzędnych.
Obniżanie/podnoszenie wskaźników
Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny
– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksie
Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor
Iloczyn skalarny dowolnych wektorów Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:
gdzie: – tensor metryczny, – współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorów – współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorów