Nierówności między średnimi, nierówności Cauchy’ego między średnimi – nierówności porządkujące w ciąg nierosnący cztery średnie, tj. średnią kwadratową, arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną wyznaczone dla tego samego układu liczb dodatnich Ich nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy’ego, francuskiego matematyka.
Oznacza to, że:
Ponadto równości w powyższym wyrażeniu zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby są równe.
Nierówność między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi uogólnionymi.
Można też rozważać ważoną wersję tej nierówności:
dla i
bądź wersję całkową:
dla całkowalnej i dodatniej w
Dowody Nierówność Cauchy’ego między średnimi jest szczególnym przypadkiem nierówności między średnimi potęgowymi, więc dowód nierówności między średnimi potęgowymi jest jednocześnie dowodem nierówności Cauchy’ego, ale można przeprowadzić również osobne dowody, mniej lub bardziej zbliżone do dowodu nierówności między średnimi potęgowymi, dla poszczególnych nierówności zawartych wśród nierówności Cauchy’ego.
Średnia arytmetyczna i geometryczna Dowód przy użyciu twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych Niniejszy dowód korzysta z twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych.