Funkcja charakterystyczna jest dana wzorem: gdyż Stąd:
przy czym przedostania równość wynika ze wzoru na dwumian Newtona.
Własności Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej i ma następujące własności: co implikuje, że funkcja charakterystyczna jest niezerowa w otoczeniu zera, , gdzie oznacza liczbę zespoloną sprzężoną z , jest ciągła na całej prostej, jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład jest symetryczny względem , jest dodatnio określona, jest jednostajnie ciągła, dla rozkładów ciągłych (twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a), Funkcja charakterystyczna funkcji zmiennej losowej Tw. Funkcja charakterystyczna funkcji zmiennej losowej , gdzie jest funkcją rzeczywistą, jest postaci
(1) dla zmiennej losowej ciągłej o gęstości :
(2) dla zmiennej losowej dyskretnej o funkcji masy prawdopodobieństwa skupionej w punktach i wartościach :
Tw. W szczególności dla funkcji liniowej , gdzie – stałe liczby rzeczywiste, z powyższego twierdzenia mamy:
Np. Jeśli ma rozkład wykładniczy o funkcji charakterystycznej
to dla zmiennej losowej otrzymujemy
Tabela funkcji charakterystycznych Niżej podano funkcje charakterystyczne typowych rozkładów prawdopodobieństwa.