mały|240px mały|240px|Równoważność zagadnienia dla mapy i dla grafu Twierdzenie o czterech barwach – dla każdego skończonego grafu planarnego istnieje funkcja taka że czyli możliwe jest przypisanie każdemu z jego wierzchołków jednej z czterech liczb: , , i w taki właśnie sposób, aby żadne sąsiednie wierzchołki nie miały przyporządkowanej tej samej liczby. Jest to jeden z najsłynniejszych problemów matematycznych; także w szczególności ze względu na sposób, w jaki twierdzenie to zostało udowodnione – por. niżej.
Wersja twierdzenia dla mapy Sformułowanie równoważne (mniej ścisłe matematycznie, lecz bardziej przemawiające do wyobraźni):
dowolną mapę polityczną, na płaszczyźnie lub sferze, można zabarwić czterema kolorami tak, aby każde dwa kraje mające wspólną granicę (nie tylko wspólny wierzchołek) miały inne kolory. Zakładamy, że wszystkie państwa są spójne terytorialnie. Mapa może być niemożliwa do pokolorowania czterema kolorami (choć nie zawsze jest), jeśli państwo ma eksklawy. mały|Ilustracja przedstawia sytuację, w której, jeśli chcemy eksklawę państwa zabarwić tym samym kolorem, co jego główną część, konieczne jest użycie piątego koloru. Równoważność tych dwóch sformułowań łatwo zauważyć wyróżniając w każdym „kraju” „stolicę” i prowadząc „drogi” pomiędzy stolicami każdych dwóch sąsiednich krajów.