W ogólności automorfizmy liniowe, czyli odwracalne przekształcenie liniowe przestrzeni na siebie, opisują „symetrie” przestrzeni takie jak opisane wyżej (liniowe) zmiany bazy. Ponieważ złożenie automorfizmów jest automorfizmem, jest łączne z definicji, przekształcenie tożsamościowe jest automorfizmem, a dla każdego automorfizmu istnieje automorfizm do niego odwrotny, to zbiór automorfizmów przestrzeni tworzy grupę nazywaną ogólną lub pełną grupą liniową przestrzeni
Przestrzenie przekształceń
Przekształcenia liniowe tworzą przestrzeń liniową z działaniami określonymi „punktowo”, tj. które wykonywane są dla każdego wektora w ten sam sposób:
oraz
Jeśli i to zgodnie z rozważaniami w sekcji Wybór baz każde przekształcenie jest izomorficzne z pewnym przekształceniem a co za tym idzie, z macierzą Oznacza to, że przestrzeń wszystkich przekształceń liniowych jest izomorficzna z przestrzenią która jest z kolei izomorficzna z przestrzenią macierzy typu Wynika stąd, że każda z tych przestrzeni ma (zachowywany przy izomorfizmach) wymiar Jeśli choć jedna z liczb jest nieskończona, to powyższa równość dalej pozostaje w mocy – wymiar przestrzeni przekształceń również jest wtedy nieskończony.
Wymiar nieskończony