Przekształcenia liniowe znajdują zastosowanie m.in. w zagadnieniach linearyzacji czy aproksymacji liniowej.
Uwaga:
W większości wypadków słowa „funkcja”, „przekształcenie” i „odwzorowanie” są używane zamiennie. Jednak nie można używać terminu „funkcja liniowa” wymiennie z terminem „odwzorowanie liniowe” – termin funkcja liniowa jest zarezerwowany dla funkcji na płaszczyźnie opisującej prostą.
Definicja Niech oznacza pewne ciało (np. liczby rzeczywiste czy zespolone), a i będą przestrzeniami liniowymi nad tym ciałem. Funkcję nazywa się przekształceniem liniowym, jeżeli jest: addytywna (zachowuje dodawanie wektorów),
jednorodna (zachowuje mnożenie przez skalar),
Powyższe warunki można połączyć w jeden, równoważny z nimi warunek liniowości:
Przykłady Odwzorowania nieliniowe Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie nie jest liniowe. Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie nie jest liniowe (choć równanie jest równaniem liniowym według terminologii używanej w geometrii analitycznej).
Powyższe odwzorowania nie spełniają warunków addytywności.