Był członkiem Klubu Teatralnego Marlowe Society w Cambridge, a w 2007 zagrał Posthumusa Leonatusa w przedstawieniu Cymbelin w reżyserii Trevora Nunna na stulecie towarzystwa. Występował w wielu produkcjach teatralnych podczas studiów, a następnie przez trzy lata uczęszczał do Royal Academy of Dramatic Art (RADA) w Londynie. Pozostało tylko pół roku do ukończenia studiów, kiedy to wyjechał w 2010.
W 2010 znalazł się w obsadzie spektaklu Posh w Royal Court Theatre. Debiutował na ekranie jako przyjaciel Jenny w dramacie Lone Scherfig Była sobie dziewczyna (2010) z Carey Mulligan. W Crucible Theatre w Sheffield w That Face (2010) zagrał 18-letniego Henry’ego, który porzucił szkołę, by opiekować się psychicznie chorą i uzależnioną od narkotyków matką.
Życie prywatne
W latach 2015–2017 był w związku z aktorką Jessie Buckley. W latach 2018–2022 związany był z aktorką Imogen Poots.
Jest właścicielem nieruchomości w elitarnym obszarze Pakem w Londynie. Norton ma cukrzycę typu 1.