Kariera w kongresie Izba reprezentantów Wiosną 1958, ojciec Quenitna Burdicka – Usher Burdick bojąc się, że niezostanie wybrany w prawyborach Republikanów zaproponował wycofanie swojej kandydatury, jeśli Liga Bezpartyjnych poprze w prawyborach jego syna jako kandydata Demokratyczno-NPL Partii Dakoty Północnej na jego stanowisko w Izbie Reprezentantów. W kwietniu Quentin otrzymał poparcie Ligi Bezpartyjnych, a następnie został wybrany członkiem Izby. Był pierwszym kandydatem swojej partii wybranym do Izby Reprezentantów z Dakoty Północnej.
Podczas trwania kadencji był członkiem komitetu spraw wewnętrznych i spraw terytoriów zależnych, gdzie organizował Garrison Diversion Project mający na celu dostarczenie wody z rzeki Missouri do Dakoty Północnej. Otrzymał wysokie oceny za swoją pracę od związków zawodowych oraz organizacji politycznej Americans for Democratic Action. W swojej pierwszej przemowie Burdick, będący przeciwnikiem polityki rolnej administracji Eisenhowera, wezwał do rezygnacji Sekretarza Rolnictwa Ezra Tafta Bensona.