W październiku 1925 roku przeniósł się do angielskiego klubu New Brighton AFC (Third Division), dla którego zdobył 6 goli w 8 występach.
W lutym 1926 roku za kwotę 800 funtów przeszedł do Sheffield United FC i został włączony do składu zespołu rezerw, gdzie występował przez 3 kolejne sezony. 4 września 1926 zadebiutował w First Division w wygranym 4:0 meczu z Arsenal FC. 15 października 1927 zdobył pierwszą bramkę w angielskiej ekstraklasie w spotkaniu przeciwko Derby County FC (1:0). Z nadejściem sezonu 1929/30 rozpoczął regularne występy w podstawowym składzie pierwszej drużyny. Uzyskał hat trick w meczach przeciwko Leicester City FC (3:3) i Blackburn Rovers FC (5:7) oraz zdobył po 4 gole w spotkaniach z Leicester City FC (7:1) i West Ham United FC (4:2). Zakończył sezon jako najlepszy strzelec klubu z 36 trafieniami w 39 meczach, co pomogło Sheffield United FC uniknąć degradacji dzięki korzystniejszemu bilansowi bramek nad Burnley FC. W kolejnych 3 sezonach Dunne ponownie był najskuteczniejszym strzelcem w swoim zespole z odpowiednio: 41, 33 i 26 trafieniami w lidze.