Po debiucie filmowym w dramacie sportowym o bokserze Amerykański chłopak (The All-American Boy, 1973) u boku Jona Voighta i Anne Archer, wystąpił na małym ekranie jako Charles Adams II w serialu PBS Kroniki Adamsów (The Adams Chronicles, 1976).
14 stycznia 1979 zadebiutował na off-Broadwayu w kościele Świętego Piotra w roli Josepha Merricka w przedstawieniu Fredericka Trevesa Człowiek słoń (The Elephant Man) z Kevinem Conwayem i zdobył Drama Desk Award oraz Obie Award. Od 19 kwietnia do 27 października 1979 grał postać Josepha Merricka w Człowieku słoniu na Broadwayu i był nominowany do Tony Award. W 1980 za występ w Człowieku słoniu w Ahmanson Theatre w Los Angeles odebrał Los Angeles Drama Critics Circle Award. W 1981 na Broadwayu wystąpił w tytułowej roli w spektaklu Makbet z udziałem Kelseya Grammera w roli Lennoxa.
Za kreację Josepha Merricka w telewizyjnej wersji ABC Człowieka słonia (1982) z Glenn Close zdobył nominację do nagrody Emmy i Złotego Globu dla najlepszego aktora w miniserialu lub filmie telewizyjnym.
Anglim utrzymuje również hodowlę bydła w Tennessee, a w 1992 założył Fundusz Dziecięcy Hrabstwa Lewis, aby pomóc dzieciom w okolicy.